複素数の累乗の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 高い累乗は、まず小さいべきで“かたまり”を作る。

(1) $(1+i{)}^2=2i$ が計算しやすい。$(1+i{)}^{10}=\{(1+i{)}^2{\}}^5=(2i{)}^5$。$(2i{)}^5=32\cdot i^5=32i$。

(2) $(1+\sqrt{3}i{)}^2=1+2\sqrt{3}i-3=-2+2\sqrt{3}i$ を作り、もう一度 $(1+\sqrt{3}i)$ を掛ける。または極形式($1+\sqrt{3}i$ は絶対値 $2$・偏角 $60°$)でド・モアブルを使えば、$2^3(\cos 180°+i\sin 180°)=-8$ と一発。

① (1) を求める。 $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$。よって

$$(1+i{)}^{10}=\{(1+i{)}^2{\}}^5=(2i{)}^5=2^5{i}^5=32i$$

($i^5=i^4\cdot i=i$。)

② (2) を求める。 $(1+\sqrt{3}i{)}^2=1+2\sqrt{3}i+3i^2=1+2\sqrt{3}i-3=-2+2\sqrt{3}i$。これに $(1+\sqrt{3}i)$ を掛けて

$$(1+\sqrt{3}i{)}^3=(-2+2\sqrt{3}i)(1+\sqrt{3}i)=-2-2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i+2\cdot 3i^2=-2-6=-8$$

まとめ:複素数の累乗は「$2$ 乗を先に作る」。$(1+i{)}^2=2i$、$(1+\sqrt{3}i{)}^2=-2+2\sqrt{3}i$ を足がかりに、指数をまとめたり掛け足したりする。$i^2=-1$ の処理をていねいに。

発展 — 一歩先へ。 ド・モアブルの定理は、複素数の累乗を「絶対値のべき乗 $\times$ 偏角の定数倍」に分解する。逆に $n$ 乗根は偏角を $n$ 等分して $\frac{360°}{n}$ ずつ回した $n$ 個。$1$ の $n$ 乗根が正 $n$ 角形をなすのも、$(1+i{)}^n$ がらせん状に回るのも、すべてこの「累乗 $=$ 回転拡大」から。三角関数の加法定理の証明にも使える。

別解

別解 — 極形式(ド・モアブル)で偏角を回す(得意な人向けの視点)。 $(1)$ $1+i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $45°$。$10$ 乗すると絶対値 $(\sqrt{2}{)}^{10}=2^5=32$、偏角 $45°\times 10=450°\equiv 90°$。$32(\cos 90°+i\sin 90°)=32i$。

$(2)$ $1+\sqrt{3}i$ は絶対値 $\sqrt{1+3}=2$・偏角 $60°$。$3$ 乗すると絶対値 $2^3=8$、偏角 $60°\times 3=180°$。$8(\cos 180°+i\sin 180°)=-8$。

かたまりを作って累乗する本解より、極形式は「絶対値をべき乗・偏角を掛け算」するだけで一発。ド・モアブルの定理 $(r(\cos \theta +i\sin \theta ){)}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$ は、複素数の累乗を「拡大・回転の反復」として捉える。偏角が $360°$ を超えたら引く、が唯一の注意点だ。