数学II / 複素数と方程式

3次方程式の解のべき和(次数下げ)

実戦編複素数解と係数べき和次数下げ単元横断

問題

$3$ 次方程式 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ の $3$ つの解を $α, β, γ$ とする。 $α^{3} + β^{3} + γ^{3}$ と $α^{4} + β^{4} + γ^{4}$ の値を求めよ。

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解と係数で $\sum α = 0, \sum α β = - 3$ 。各解は $α^{3} = 3 α - 1$ 。和をとると $\sum α^{3} = 3 \sum α - 3$ 。 $α^{4} = α \cdot α^{3}$ 。

解答・解説

方針

解と係数で基本対称式を出す。各解が満たす関係式 $x^{3} = 3 x - 1$ で高次を低次に下げ、和をとる。 $\sum α^{2}$ は対称式で計算。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $α^{3}$ や $α^{4}$ を解の値から直接計算するのは無理筋だ(解はきれいな数ではない)。

使えるのは2つ。解と係数の関係(基本対称式の値)と、「各解は方程式そのものを満たす」という当たり前の事実である。

$α^{3} = 3 α - 1$ 。この“次数下げ”を使えば、3乗の和は1乗の和に、4乗の和は2乗と1乗の和に落ちる。あとは対称式の計算だけが残る。

定理解と係数の関係:

x^{3} - 3 x + 1 = 0

で

\sum α = 0, \sum α β = - 3, α β γ = - 1

① 基本対称式。 $α + β + γ = 0$ 、 $α β + β γ + γ α = - 3$ 。よって $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) = 0 - 2 (- 3) = 6.$ ② $\sum α^{3}$ 。 各解は $α^{3} = 3 α - 1$ 。 $3$ つ足して $\sum α^{3} = 3 \sum α - 3 = 3 \cdot 0 - 3 = - 3.$ ③ $\sum α^{4}$ 。 $α^{4} = α \cdot α^{3} = α (3 α - 1) = 3 α^{2} - α$ 。 $3$ つ足して $\sum α^{4} = 3 \sum α^{2} - \sum α = 3 \cdot 6 - 0 = 18.$

まとめ 関係式 $α^{3} = 3 α - 1$ で次数を下げ、 $\sum α = 0, \sum α^{2} = 6$ を使って $\sum α^{3} = - 3, \sum α^{4} = 18$ 。解と係数(対称式)と次数下げの融合。方程式を関係式として使うのが要。

発展 — 一歩先へ。 $x = 2 cos θ$ とおくと $x^{3} - 3 x = 2 cos 3 θ$ (3倍角)。方程式は $2 cos 3 θ = - 1$ となり、 $θ = 4 0^{\circ}, 8 0^{\circ}, 16 0^{\circ}$ 。つまり3解の正体は $2 cos 4 0^{\circ}, 2 cos 8 0^{\circ}, 2 cos 16 0^{\circ}$ である。べき和の漸化式(別解)と合わせれば、これらの $cos$ の高次のべき和も機械的に求まる。

答

各解は $x^{3} = 3 x - 1$ を満たす。 $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = 3 (α + β + γ) - 3 = 3 \cdot 0 - 3 = - 3$ 。 $α^{4} = 3 α^{2} - α$ より $\sum α^{4} = 3 \sum α^{2} - \sum α$ 。 $\sum α = 0, \sum α^{2} = (\sum α)^{2} - 2 \sum α β = 0 - 2 (- 3) = 6$ 。 $\sum α^{4} = 18$ 。

別解

別解 — べき和の漸化式で機械的に(得意な人向けの高い視点)。 べき和 $p_{n} = α^{n} + β^{n} + γ^{n}$ は、方程式 $x^{3} = 3 x - 1$ の両辺を $x^{n - 3}$ 倍して3解分足すと

$p_{n} = 3 p_{n - 2} - p_{n - 3} (n \geq 3)$

という漸化式に乗る。初期値は $p_{0} = 3$ (解3個分の $1$ )、 $p_{1} = 0$ (解の和)、 $p_{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) = 0 + 6 = 6$ 。

あとは回すだけだ。

$p_{3} = 3 p_{1} - p_{0} = - 3, p_{4} = 3 p_{2} - p_{1} = 18.$

さらに $p_{5} = 3 p_{3} - p_{2} = - 15$ 、 $p_{6} = 3 p_{4} - p_{3} = 57$ と、いくらでも先へ行ける。1問ずつ次数を下げる本解に対し、こちらは「すべてのべき和を量産するライン」を組む見方である。

ポイント

各解は $α^{3} = 3 α - 1$ (方程式=関係式)。
$\sum α = 0, \sum α^{2} = 6$ (対称式)。
$\sum α^{3} = - 3, \sum α^{4} = 18$ 。

よくある間違い

$\sum α^{2}$ を $(\sum α)^{2}$ と混同する(正しくは $(\sum α)^{2} - 2 \sum α β = 0 + 6 = 6$ )。
$x^{3} - 3 x + 1 = 0$ の移項で $x^{3} = 3 x - 1$ の符号を誤り、以後の次数下げが全部ずれる。
$α^{4} = 3 α^{2} - α$ を足し合わせるとき、 $- \sum α$ の項を落とす( $= 0$ とはいえ書いて確認する)。