微分の考え — 接線・増減・最大最小

関数 $f(x)=x^2$ について、$x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

関数 $f(x)=x^2+x$ について、微分係数 $f^{\prime }(2)$ を定義にしたがって求めよ。

関数 $f(x)=x^3-2x^2+5x-1$ を微分せよ。

関数 $f(x)=x^3$ について、$f^{\prime }(-1)$ を求めよ。

曲線 $y=x^2$ 上の点 $(1,1)$ における接線の方程式を求めよ。

曲線 $y=x^2-3x$ 上の点 $(2,-2)$ における接線の方程式を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ の極値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x^2$ の極値を求めよ。

$0\leqq x\leqq 2$ における関数 $f(x)=x^3-3x$ の最大値と最小値を求めよ。

曲線 $y=x^2$ の接線のうち、傾きが $4$ であるものの接点の座標を求めよ。

関数 $f(x)=-x^3+3x$ の極値を求め、グラフの増減のようすを述べよ。

曲線 $y=x^3-x$ 上の原点 $(0,0)$ における接線の方程式を求めよ。

関数 $f(x)=x^2+x$ について、定義にしたがって導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

関数 $f(x)=(2x-1)(x+3)$ を微分せよ。

点 $(0,-1)$ から曲線 $y=x^2$ に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

曲線 $y=x^2-4x+5$ 上の点 $(3,2)$ における接線が、$x$ 軸と $y$ 軸で囲む三角形の面積を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3ax+4$ が $x=1$ で極値をとるとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、そのときの極大値と極小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。方程式 $x^3-3x=k$ の異なる実数解の個数を、$k$ の値によって調べよ。

$-1\leqq x\leqq 3$ における関数 $f(x)=x^3-3x^2+2$ の最大値と最小値を求めよ。

$1$ 辺 $12\mathrm{cm}$ の正方形の厚紙の四隅から、$1$ 辺 $x\mathrm{cm}$ の正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない箱を作る。箱の容積を最大にする $x$ の値と、そのときの容積を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+3x$ が極値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x$ の点 $(1,-2)$ における接線が、曲線と再び交わる点の座標を求めよ。

$x\geqq 0$ のとき、不等式 $2x^3-3x^2+1\geqq 0$ が成り立つことを示せ。

曲線 $y=x^3$ の接線のうち、傾きが $12$ であるものをすべて求めよ。

方程式 $x^3-3x^2+k=0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$a>0$ とする。関数 $f(x)=x^3-3ax$ の極大値と極小値の差を、$a$ を用いて表せ。

点 $(2,a)$ から曲線 $y=x^3$ に $3$ 本の接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$-2\leqq x\leqq 3$ における関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の最大値と最小値を求めよ。

関数 $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$ の極値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ が $x=1$ で極大値 $6$、$x=3$ で極小値 $2$ をとる。定数 $a$、$b$、$c$ の値を求めよ。

方程式 $x^3-3x^2-9x-k=0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

半径 $\sqrt{3}$ の球に内接する直円柱のうち、体積が最大のものを求めよ。円柱の高さを $2h$ とするとき、最大の体積を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。点 $\mathrm{A}(2,a)$ から曲線 $C:y=x^3-3x$ に引ける接線の本数を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

$a>0$ とする。関数 $f(x)=|x^3-3x|$ の $0\leqq x\leqq a$ における最大値 $M(a)$ を求めよ。

曲線 $y=x^4-2x^2+x$ に、異なる $2$ 点で接する直線 $\ell$ の方程式と、$2$ つの接点の $x$ 座標を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$3$ 次方程式 $2x^3-3x^2-12x+a=0$ が、異なる $2$ つの正の解と $1$ つの負の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=x^3$ 上の原点以外の点 $\mathrm{P}$ における接線が、$C$ と再び交わる点を $\mathrm{Q}$ とする。$\mathrm{Q}$ における $C$ の接線の傾きは、$\mathrm{P}$ における接線の傾きのちょうど $4$ 倍であることを示せ。

$3$ 次関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ が $x=\alpha$ で極大値、$x=\beta$ で極小値をとり、$\beta -\alpha =2$ であるとする。極大値と極小値の差 $f(\alpha )-f(\beta )$ は、$a$、$b$、$c$ の値によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

$f(x)=x^3-6x^2+9x$ とし、曲線 $C:y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(2,f(2))$ を考える。

(1) 曲線 $C$ は点 $\mathrm{A}$ に関して対称であることを示せ。

(2) 点 $\mathrm{A}$ を通る直線が $C$ と異なる $3$ 点で交わるとき、$\mathrm{A}$ は残り $2$ つの交点を結ぶ線分の中点であることを示せ。

半径 $3$ の球に内接する直円錐(頂点と底面の円周がすべて球面上にある円錐)のうち、体積が最大のものについて、高さと最大の体積を求めよ。

$x^3-3x=k$ が異なる $3$ つの実数解をもつような定数 $k$ の範囲を求めよ。また、そのとき $3$ 解 $\alpha ,\beta ,\gamma$ の平方和 ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ は $k$ によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

点 $(1,b)$ から曲線 $y=x^3$ に $3$ 本の接線が引けるような $b$ の範囲を求めよ。

$p<0$ とする。$3$ 次関数 $f(x)=x^3+px+q$ の極大値と極小値の差を $p$ を用いて表せ。

$1$ 辺 $24\mathrm{cm}$ の正方形の厚紙の四隅から、$1$ 辺 $x\mathrm{cm}$ の正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない箱を作る。箱の容積を最大にする $x$ と、そのときの容積を求めよ。

$4$ 次関数 $f(x)=x^4-8x^2+3$ の最小値を求めよ。

直線 $y=mx+n$ が曲線 $y=x^3$ と異なる $3$ 点で交わるとする。$3$ 交点の $x$ 座標の和は常に $0$ であることを示し、$3$ 交点の重心(座標の平均)を $m,n$ で表せ。

$x\ge -2$ のとき、不等式 $x^3\ge 3x-2$ が成り立つことを示せ。また等号が成り立つ $x$ を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x^2+2x$ と $x$ 軸で囲まれる $2$ つの部分について、それらの面積が等しいことを示せ。

点 $\mathrm{P}(a,b)$ から曲線 $y=x^3$ に相異なる3本の接線が引けるような点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を求め、図示せよ。

曲線 $y=x^4-4x^3$ に相異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。

$a>0$ とする。3次方程式 $x^3-3a^{2}x+b=0$ が相異なる3つの実数解をもつような実数 $b$ の範囲を、$a$ を用いて表せ。

$a>0$ とする。区間 $0\le x\le 1$ における関数 $f(x)=x^3-3a^{2}x$ の最小値を $a$ の値で場合を分けて求めよ。

原点を通る直線 $y=mx$ が曲線 $y=x^3-3x^2$ と相異なる3点で交わるような $m$ の範囲を求めよ。

3次関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ が極大値と極小値をもつとする。このとき、(極大値)$+$(極小値)は変曲点の $y$ 座標の $2$ 倍に等しいことを示せ。

曲線 $y=x^3$ と曲線 $y=3x^2+a$ が接するとき、定数 $a$ の値をすべて求めよ。

$a>0$ とする。すべての実数 $x$ に対して $x^4-4ax+3\ge 0$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。