数学II / 微分の考え

接線と曲線の再交点

★★ 標準接線

問題

曲線 $y = x^{3} - 3 x$ の点 $(1, - 2)$ における接線が、曲線と再び交わる点の座標を求めよ。

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まず接線を求める(この点では傾きがちょうど $0$ になる)。接線と曲線の交点の方程式を作ると、接点の $x$ が重解になっているはず — それを利用して残りの解を出す。

解答・解説

まず接線を求める。次に「曲線 = 接線」の方程式を解く。接点では接するので、その解は重解になる。因数に $(x - 接点)^{2}$ が現れることを利用すると、残りの解(再交点)がすぐ出る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は素直だ。まず $(1, - 2)$ での接線を求め、次に「曲線 $=$ 接線」を解いて交点を全部出す。

ここで効くのが「接する $=$ 重解」。接点 $x = 1$ は、曲線と接線の方程式の重解になっている。

だから $3$ 次方程式は $(x - 1)^{2} \times (残り)$ と因数分解できると最初から分かっている。残りの因数から再交点が出る。解く前に答えの形が見えている、という安心感を持って進めよう。

重要接線と曲線の交点方程式では、接点の

x

が重解になる(

(x - t)^{2}

でくくれる)

① 接線を求める。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ 、 $f^{'} (1) = 0$ 。傾き $0$ 、点 $(1, - 2)$ を通るので接線は $y = - 2$ 。

② 曲線と接線の交点方程式を作る。

$x^{3} - 3 x = - 2 \Rightarrow x^{3} - 3 x + 2 = 0$

③ 重解を利用して因数分解する。 接点 $x = 1$ は重解なので $(x - 1)^{2}$ でくくれる。

$x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0$

よって $x = 1$ (接点、重解)と $x = - 2$ (再交点)。

④ 再交点の座標を出す。 $x = - 2$ を曲線に代入( $y = - 2$ でも同じ)。

$y = (- 2)^{3} - 3 (- 2) = - 8 + 6 = - 2$

よって再交点は $(- 2, - 2)$ 。

y=x^3-3x と接線 y=-2。接点(1,-2)・再交点(-2,-2)

まとめ:接線と曲線の交点は「接点が重解」がカギ。 $(x - t)^{2}$ でくくれば、残りの $1$ 次因数から再交点がすぐ求まる。わざわざ $3$ 次方程式を一から解かなくてよい。

発展 — 一歩先へ。 今回の接点 $(1, - 2)$ は極小点だったので、接線は水平線 $y = - 2$ になった。「極値の高さの横線は曲線と接する」— 実は $3$ 次方程式の実数解の個数を数える問題で使った『境目の横線』と、まったく同じものを別の角度から見ている。

接点 $t$ を一般の文字にすると、再交点は $- 2 t$ (解の和 $= 0$ より $t + t + β = 0$ )。「再交点は接点の $- 2$ 倍」という $y = x^{3} - 3 x$ 型( $x^{2}$ の項なし)の一般法則が、解と係数の関係から $1$ 行で出る。

答

$(- 2, - 2)$

因数分解の割り算をせずに、解と係数の関係で再交点を即答できる。

「曲線 $=$ 接線」を整理した $3$ 次方程式 $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ の $3$ つの解は、 $1, 1$ (重解)と再交点の $β$ 。 $3$ 次方程式の解の和は「 $x^{2}$ の係数の符号を変えたもの」だから、 $x^{2}$ の項がないこの方程式では

$1 + 1 + β = 0 ⟺ β = - 2$

割り算なしで $x = - 2$ 。 $y$ は曲線に代入して $(- 2)^{3} - 3 (- 2) = - 2$ 。再交点は $(- 2, - 2)$ だ。

$3$ 次の曲線と接線の交点問題では、「解は接点(重解)と再交点の $3$ つ」「和は係数から読める」の $2$ つを組むと、いつでもこの速さで解ける。