外部の点から3次曲線への接線の本数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線の外の点から引く接線は、接点を主役にするのが定石だ。接点 $(t,t^3)$ での接線をまず書く。

その接線が $(1,b)$ を通る、という条件を式にすると、$t$ の3次方程式になる。

3次曲線では接点が異なれば接線も異なる。だから「接線の本数=この $t$ 方程式の実数解の個数」。あとは前問と同じく、$t$ の3次関数の極大・極小と横線 $y=b$ の位置関係を調べればよい。

① 接線が通る条件。 接点 $(t,t^3)$ での接線は $y=3t^2(x-t)+t^3=3t^{2}x-2t^3$。これが $(1,b)$ を通るので $$b=3t^2-2t^3⟺2t^3-3t^2+b=0.$$ ② 解の個数。 $g(t)=2t^3-3t^2$ とおくと $g^{\prime }(t)=6t^2-6t=6t(t-1)$。極大 $g(0)=0$、極小 $g(1)=2-3=-1$。方程式 $g(t)=-b$ が $3$ 実解をもつ条件は $$-1<-b<0⟺0<b<1.$$ ③ 結論。 接点 $t$ が $3$ 個 $⟺$ 接線が $3$ 本 $⟺$ $$0<b<1.$$

まとめ 接点の方程式 $2t^3-3t^2+b=0$ の実数解が $3$ 個になる条件を極値で調べ、$0<b<1$。接線(微分)と解の個数の融合。本数を接点の個数に翻訳するのが核心。

発展 — 一歩先へ。 「接点が違えば接線も違う」は3次曲線の特権で、4次になると崩れる。たとえば W 字型の4次曲線には、2つの谷に同時に接する1本の直線(複接線)があり、接点2つで接線1本。接線の本数を数える問題は、次数が上がると「接点の数え方」から設計し直しになる。

別解

別解 — 「曲線と変曲点接線の間」という領域で読む(得意な人向けの高い視点)。 答え $0<b<1$ の図形的な意味を見る。

$b=0$ は、変曲点(原点)での接線 $y=0$ の上に点 $(1,b)$ が乗る瞬間。$b=1$ は、点が曲線 $y=x^3$ そのものの上($x=1$ で $y=1$)に乗る瞬間だ。

つまり「3本引ける」のは、点 $(1,b)$ が変曲点での接線と曲線にはさまれた領域の内部にあるとき。一般に点 $(a,b)$($a\ne 0$)からの接線の本数は

$$(b-a^3)b<0\text{なら3本},=0\text{なら2本},>0\text{なら1本}.$$

たとえば $a=2$ なら $0<b<8$ で3本 — 計算と一致する。3次曲線と変曲点接線が平面を4つに分け、各領域で接線の本数が決まっている。この「地図」を知っていると、答えの検算が一瞬でできる。