関数の増減と極値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値とは「山の頂上(極大)と、谷の底(極小)」。

そこでは、接線が水平になる。 つまり

$$f^{\prime }(x)=0$$

$3$ 段階で進める。

手順1: 導関数を求め、$f^{\prime }(x)=0$ を解く。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$$

$$f^{\prime }(x)=0⟹x=-1,1$$

手順2: 増減表を書く。 $f^{\prime }$ の符号を調べる。

手順3: 極値を計算する。

$$f(-1)=-1+3=2(\text{極大値})$$ $$f(1)=1-3=-2(\text{極小値})$$

$f^{\prime }=0$ を解くだけでは終わらない。符号の変化を必ず調べる。

① $f^{\prime }(x)$ を求めて $0$ とおく。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=-1,1$$

② 符号を調べる。 $f^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ は下に凸の放物線。$x<-1$ で正、$-1<x<1$ で負、$x>1$ で正。

• $x=-1$:正→負 なので極大。$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$。
• $x=1$:負→正 なので極小。$f(1)=1-3=-2$。

$$\text{極大値 }2(x=-1),\text{極小値 }-2(x=1)$$

まとめ:極値は「$f^{\prime }=0$ の点で、$f^{\prime }$ の符号が入れかわる所」。正→負は山(極大)、負→正は谷(極小)。増減表か数直線で符号を必ず確かめる。

発展 — 一歩先へ。 極値を求める技術は、最適化という巨大な応用分野の中核である。

「最も良い状態を探す」問題は、すべて「極値を探す問題」に翻訳できる。

• 利益を最大にする価格は? → 利益関数の極大値
• 材料を最小にする容器の形は? → 表面積関数の極小値
• 最も速く着く経路は? → 時間関数の極小値
• AI の誤差を最小にするパラメータは? → 損失関数の極小値

そして、その解法はいつも同じ。「微分して $0$ とおく」。

光の屈折(スネルの法則)も、この原理から導かれる。

フェルマーの原理: 「光は、$2$ 点間を最短時間で進む経路を選ぶ。」

空気中と水中では光の速さが違う。最短の距離ではなく、最短の時間になる経路を求めると — 微分して $0$ とおくと — 屈折の法則 $\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}$ が出てくる。

光は、微分方程式を解いてから進んでいるかのようだ。

自然界は、しばしば「何かを最小化(または最大化)」している。

• 石けん膜: 表面積を最小にする(だから球や、あの美しい曲面になる)
• 蜂の巣: 材料を最小にして最大の容積(正六角形)
• 物体の運動: 「作用」という量を最小にする経路を通る(最小作用の原理)

物理法則そのものが、「ある量の極値をとる」という形で書ける — これは驚くべき事実だ。ニュートンの運動方程式も、電磁気学のマクスウェル方程式も、一般相対性理論も、すべて最小作用の原理から導かれる。

$f^{\prime }(x)=0$ を解く。 その素朴な作業の先に、「自然はなぜこう振る舞うのか」という究極の問いが待っている。

別解

この関数には、隠れた対称性がある。 それに気づくと、計算が半分で済み、答えの検算もできる。

対称性に気づく。

$$f(x)=x^3-3x$$

$-x$ を代入してみる。

$$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)$$

$$\boxed{f(-x)=-f(x)}$$

奇関数だ! グラフは原点対称である。

この対称性から、何が言えるか。

$x=-1$ で極大値 $2$ をとるなら、原点対称な位置 $x=1$ では、$y$ の符号が反転して極小値 $-2$ をとる。

片方を計算すれば、もう片方は"ただで"分かる。

$$f(-1)=2⟹f(1)=-f(-1)=-2✓$$

計算量が半分になった。 そして検算にもなる — もし $f(1)=-2$ にならなければ、どこかで計算ミスをしている。

グラフの形も、対称性から読める。

• 左端($x\to -\infty$)から上ってきて
• $x=-1$ で山($y=2$)
• 下って原点を通り($f(0)=0$)
• $x=1$ で谷($y=-2$)
• また上っていく

原点を中心に、点対称なS字カーブ — これが $3$ 次関数の典型的な姿だ。

そして、$3$ 次関数の「極大と極小の関係」には、一般的な法則がある。

$3$ 次関数のグラフは、必ず"変曲点"に関して点対称である。

$f(x)=x^3-3x$ の変曲点は?

$$f^{\prime \prime }(x)=6x=0⟹x=0$$

変曲点は原点 ✓ だからグラフは原点対称だった。

一般の $3$ 次関数でも同じ。 $y=x^3-3x^2$(次の問題)なら、変曲点は $x=1$ — その点に関して点対称である(頂点が原点でないだけ)。

この事実の実用的な帰結。

「極大値と極小値の"中点"は、必ず変曲点の高さになる。」

$$\frac{2+(-2)}{2}=0=f(0)✓$$

$3$ 次関数の $2$ つの極値と、変曲点は、一直線上に等間隔で並んでいる。

$x$ 座標でも同じ。 極大の $x=-1$、変曲点の $x=0$、極小の $x=1$ — 等間隔 ✓

「$3$ 次関数は、変曲点に関して点対称」 — この $1$ 文を知っているだけで、グラフの概形が一瞬で描ける。極値を $1$ つ求めたら、もう $1$ つは対称性から出る。

対称性を見抜くことは、計算を減らし、間違いを減らす。 そして何より、グラフの"かたち"が見えてくる。