接線の方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接線を決めるには、「傾き」と「通る点」が要る。

通る点は与えられている: $(1,1)$。

傾きは、微分係数で求まる。

$$f(x)=x^2⟹f^{\prime }(x)=2x⟹f^{\prime }(1)=2$$

$\boxed{\text{接線の傾き}=\text{その点での微分係数}}$ — これが微分の最も基本的な意味だ。

$1$ 点と傾きが分かれば、直線の式が書ける。

$$y-1=2(x-1)⟹y=2x-1$$

接線の公式として書くと

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

「点 $(a,f(a))$ を通り、傾き $f^{\prime }(a)$ の直線」 — 覚えるのは、この $1$ 本でよい。

① 接線の傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=2x$ なので、$x=1$ での傾きは

$$f^{\prime }(1)=2\times 1=2$$

② 点 $(1,1)$ を通る直線を作る。

$$y-1=2(x-1)\Rightarrow y=2x-1$$

まとめ:接線は「傾き $=f^{\prime }(a)$、通る点 $=(a,f(a))$」の直線。傾きを微分で出して、点を通る直線の式に入れるだけだ。

発展 — 一歩先へ。 接線には、実用的な使い道がある。複雑な関数を、直線で近似することだ。

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)(x\text{が}a\text{に近いとき})$$

接線は、その点の近くで、曲線のよい近似になっている。

例: $\sqrt{4.1}$ を、電卓なしで計算する。

$f(x)=\sqrt{x}$、$a=4$ とする($\sqrt{4}=2$ は分かっている)。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}⟹f^{\prime }(4)=\frac{1}{4}$$

接線による近似。

$$\sqrt{4.1}\approx 2+\frac{1}{4}(4.1-4)=2+0.025=2.025$$

真の値は $2.02485\dots$ — 誤差は $0.0002$ 未満!

曲線を直線で置きかえただけなのに、驚くほど正確だ。

この「$1$ 次近似」は、科学と工学の至るところで使われている。

振り子の運動。 厳密な方程式は解けないが、$\sin \theta \approx \theta$ と近似する($\theta$ が小さいとき)と、きれいに解ける — 振り子の等時性が導かれる。

相対性理論。 光速に比べて遅い速度では、$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}$ と近似でき、ニュートン力学が復活する — 相対論が古典力学を含むことが、この近似で示される。

機械学習。 損失関数の最小値を探すとき、現在地での接線(勾配)の向きへ、少しずつ進む(勾配降下法)。AI の学習は、$1$ 次近似の繰り返しである。

「曲がったものを、まっすぐなもので近似する」 — これが微分の最も実用的な意味だ。

接線の方程式 $y=2x-1$ を求めることは、「放物線を、点 $(1,1)$ の近くで直線とみなす」という、強力な単純化の第一歩なのである。

別解

微分を使わずに、接線を求める方法がある。 判別式を使う、数Iの発想だ。$2$ つのルートを比べると、「接する」ということの意味が立体的に見えてくる。

判別式ルート: 「接する $=$ 重解」を使う。

点 $(1,1)$ を通る直線を、傾き $m$ として置く。

$$y=m(x-1)+1$$

この直線が、放物線 $y=x^2$ と"接する"とは、どういうことか。

$2$ つの式を連立して、共有点を求める。

$$x^2=m(x-1)+1⟹x^2-mx+(m-1)=0$$

「接する」とは「共有点がちょうど $1$ つ」 — つまりこの $2$ 次方程式が重解を持つということ。

$$D=m^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2=0$$

$$m=2$$

傾きが $2$ と決まった。

$$y=2(x-1)+1=2x-1✓$$

微分と同じ答え。

この $2$ つのルートは、「接する」ことの $2$ つの意味を表している。

どちらも正しく、そして同じ答えに着く。

「接する」ことを、代数的に確かめよう。

$$x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$

曲線と接線の差が、$(x-1{)}^2$ という"完全平方"になった。

$$\boxed{(\text{曲線})-(\text{接線})=(x-a{)}^2\times (\cdots )}$$

この形が「接する」ことの代数的な特徴だ。 $(x-1{)}^2\geqq 0$ だから、曲線は接線の上にあり、$x=1$ でだけ触れる。

判別式ルートの限界。 この方法は、$2$ 次関数にしか使えない($3$ 次以上では、判別式が使えない)。

微分ルートなら、どんな関数でも通用する。 $y=x^3$ でも $y=\sin x$ でも $y=e^x$ でも、接線の傾きは $f^{\prime }(a)$ である。

これが「微分の発明」の意義だ。

$2$ 次関数だけの特殊技(判別式)から、すべての関数に通用する一般理論(微分)へ — 数学の進歩とは、こういうものである。

ニュートンとライプニッツが微分を発明する前、接線を引くのは"職人芸"だった。 曲線ごとに、特別な工夫が必要だった。

微分は、それを"機械的な手続き"に変えた。 $f^{\prime }(x)$ を計算して、$x=a$ を代入する — 誰でも、どんな曲線でも、同じ手順で接線が引ける。

「特殊な技巧」を「一般的な手続き」に変える。 それが、数学における最大の発明の形なのだ。