数学II / 微分の考え

積を展開して微分

★★ 標準導関数

問題

関数 $f (x) = (2 x - 1) (x + 3)$ を微分せよ。

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このままでは微分しにくいので、先に展開して多項式の形に直すのが早い。展開の計算ミスだけ注意。

解答・解説

方針

積のままでは項ごとの微分が使えない。まず展開して多項式にしてから、各項を微分する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積 $(2 x - 1) (x + 3)$ のままでは、項ごとに微分する道具が使えない。

まず展開して、ふつうの多項式に直す。それから各項を公式で微分する。

「微分の前に、微分できる形に整える」— この下ごしらえが今回の全てだ。数IIの範囲では、積はいつも展開してから微分する。

公式積は展開してから微分(

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

)

① 展開する。

$f (x) = (2 x - 1) (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x - x - 3 = 2 x^{2} + 5 x - 3$

② 各項を微分する。

$f^{'} (x) = 4 x + 5$

まとめ:数II の範囲では、積は展開してから微分するのが基本。かっこのまま微分しようとせず、まず多項式に直す。

発展 — 一歩先へ。 「 $(f g)^{'} = f^{'} g^{'}$ ではない」ことは、定義に戻ると納得できる。積の増分は $f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)$ で、 $f$ の変化と $g$ の変化が絡み合う。別解の「前を微分+後ろを微分」の2項は、その絡み合いを正確にほどいた結果だ。

$(2 x - 1) (x + 3)$ 程度なら展開が速いが、 $(x^{2} + 1)^{10}$ のような高いべきは展開が現実的でない。そこで数IIIの積・合成の公式が本領を発揮する — 「展開できないほど複雑な関数を微分したい」が、次の学年への動機になっている。

答

$f^{'} (x) = 4 x + 5$

別解

先の話になるが、積のまま微分する公式が存在する(数IIIで学ぶ)。

「前を微分 × 後ろそのまま + 前そのまま × 後ろを微分」という形で

${(2 x - 1) (x + 3)}^{'} = 2 \cdot (x + 3) + (2 x - 1) \cdot 1 = 2 x + 6 + 2 x - 1 = 4 x + 5$

展開ルートと同じ $4 x + 5$ が出る。

今は「展開してから」が正規ルートだが、この公式を検算に使うと、展開ミスを独立の経路で見抜ける。2つの道が同じ答えに合流することを確かめる習慣は、どの単元でも計算の安全網になる。

ポイント

積はまず展開して多項式に。
展開後は項ごとに $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ 。

よくある間違い

$(2 x - 1)^{'} (x + 3)^{'} = 2 \cdot 1 = 2$ のように「微分の積」としてしまう(積の微分はバラせない)
展開で $- 1 \cdot 3 = - 3$ の定数項や $6 x - x$ の中間項を落とす
微分で定数項 $- 3$ を残してしまう(定数の微分は $0$ )