数学II / 微分の考え

3次方程式の実数解の個数

★★ 標準解の個数極値

問題

$k$ を実数の定数とする。方程式 $x^{3} - 3 x = k$ の異なる実数解の個数を、 $k$ の値によって調べよ。

ヒントを見る

定数 $k$ を片側に分離して、『曲線と水平な直線の交点の個数』と読み替える。曲線の山と谷の高さが分かれば、横線の高さごとに交点数を数えられる。

解答・解説

$y = x^{3} - 3 x$ と $y = k$ (横線)の交点の個数を考える。 $3$ 次関数の極大値・極小値がものさしになる。横線が極大と極小のあいだにあれば $3$ 個、外なら $1$ 個。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{3} - 3 x = k$ を直接解こうとすると、 $k$ が動くたびに $3$ 次方程式を解き直すことになり、手に負えない。

そこで見方を変える。左辺と右辺を別々のグラフにする。

$y = x^{3} - 3 x$ (固定された曲線)と $y = k$ (高さ $k$ の横線)。方程式の実数解の個数は、この $2$ つのグラフの交点の個数だ。曲線は $1$ 回描けば終わり。あとは横線を上下に動かして、交点がいくつになるか数えればよい。境目は曲線の極大値・極小値の高さである。

重要方程式の解の個数 =

y = (左辺)

と

y = k

のグラフの交点の個数

① 曲線の極大・極小を求める。 $y = x^{3} - 3 x$ は $f^{'} = 3 (x - 1) (x + 1)$ より、極大値 $2$ ( $x = - 1$ )、極小値 $- 2$ ( $x = 1$ )。

② 横線 $y = k$ との交点を数える。 横線を上下に動かして、曲線とぶつかる回数を見る。

y=x^3-3x と横線 y=k。極大2・極小-2 の帯の中(-2<k<2)で交点3個

まとめ:「 $3$ 次方程式の解の個数」は、片方を横線 $y = k$ にして交点数を数えるのが定石。極大値・極小値がしきい値になり、そのあいだで解が $3$ 個・外で $1$ 個・境目で $2$ 個となる。

発展 — 一歩先へ。 この「定数を分離して横線との交点を数える」手筋は、定数分離と呼ばれ、応用範囲がきわめて広い。 $x^{3} - 3 x - k = 0$ のまま扱うと $k$ 入りの $3$ 次式の解の議論になるが、 $k$ を右辺に孤立させた瞬間、動くのは横線だけになる。

「文字定数は分離して、固定した曲線と動く横線に分業させる」— 方程式の解の個数、不等式の成立条件、接線の本数まで、この一手で見通せる問題は多い。曲線の極値が"ものさし"になる構図はいつも同じだ。

答

$k < - 2$ 、 $2 < k$ のとき $1$ 個。 $k = \pm 2$ のとき $2$ 個。 $- 2 < k < 2$ のとき $3$ 個

境目の $k = \pm 2$ で「 $2$ 個」になる理由を、式の側から確かめておくと納得が深まる。

$k = - 2$ のとき。 $x^{3} - 3 x + 2 = 0$ を因数分解すると

$(x - 1)^{2} (x + 2) = 0$

$x = 1$ が重解、 $x = - 2$ が単解。異なる実数解は $2$ 個だ。重解 $x = 1$ は極小の場所そのもの — 横線 $y = - 2$ が谷底に接している姿が、式では「重解」として現れている。

$k = 2$ も同じで、 $x^{3} - 3 x - 2 = (x + 1)^{2} (x - 2) = 0$ 。山頂 $x = - 1$ で接して重解、ほかに $x = 2$ 。

「グラフで接する ⟺ 方程式で重解」。図の読みと式の計算が同じ事実の両面だと分かれば、グラフ勘定に自信が持てる。