すべての実数で成り立つ不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての実数 $x$ で $g(x)\ge 0$」という全称の条件は、「$g$ の最小値が $0$ 以上」と同じことだ。無限個の条件が、関数の1点の話に翻訳できる。

そこで $g(x)=x^4-4ax+3$ の最小値を微分で求める。$g^{\prime }=4(x^3-a)$ は符号が1回だけ負から正に変わるから、谷は1つだけだ。

$a$ を大きくするほど $-4ax$ が効いて谷は深くなる。最小値がちょうど $0$ に触れる瞬間の $a$ が、求める最大値になる。

① 谷の場所。 $g^{\prime }(x)=4x^3-4a=4(x^3-a)$。$a>0$ より $g^{\prime }(x)=0⟺x=a^{1/3}$。$x<a^{1/3}$ で $g^{\prime }<0$、$x>a^{1/3}$ で $g^{\prime }>0$ だから、$x=a^{1/3}$ で最小(下に凸な4次で唯一の谷)。

② 最小値。 $x_0=a^{1/3}$ とおくと $x_0^3=a$、$x_0^4=a{x}_0=a^{4/3}$。

$$g(x_0)=x_0^4-4a{x}_0+3=a^{4/3}-4a\cdot a^{1/3}+3=a^{4/3}-4a^{4/3}+3=-3a^{4/3}+3$$

③ 条件を解く。 最小値 $\ge 0$:

$$-3a^{4/3}+3\ge 0⟺a^{4/3}\le 1⟺a\le 1$$

$a>0$ とあわせて $0<a\le 1$。したがって $a$ の最大値は

$$a=1$$

まとめ:全 $x$ での不等式 → 最小値 $\ge 0$ に翻訳。谷 $x=a^{1/3}$ での値 $-3a^{4/3}+3$ を $a$ で押さえるのが急所。$a=1$ のとき最小値がちょうど $0$($x=1$ で $g=0$、$g(x)=(x-1{)}^2(x^2+2x+3)$ と因数分解できて接する)。

発展 — 一歩先へ。 同じ型は一般の $n$ 乗でも成り立つ。$x\ge 0$ で $x^n+(n-1)\ge nx$($x^n$ と $1$ を $n-1$ 個並べた相加相乗)。等号は $x=1$。微分の言葉で言い直せば、「$y=x^n$ を下から支える直線のうち、傾き $n$ のものは $x=1$ で接する接線」という話と同じものだ。

別解

微分を使わずに(相加相乗平均を4文字で)。 $a=1$ のときの不等式 $x^4+3\ge 4x$ は、実は相加相乗平均そのものだ。

$$x^4+3=x^4+1+1+1\ge 4\sqrt[4]{x^4\cdot 1\cdot 1\cdot 1}=4|x|\ge 4x$$

(4文字の相加相乗。等号は $x^4=1$ かつ $x\ge 0$、すなわち $x=1$。)よって $a=1$ なら全実数で成り立つ。

次に、$a>1$ では破れることを見る。$x=1$ を代入すると

$$1-4a+3=4-4a<0$$

$x=1$ の1点で、もう不等式が壊れている。以上より、成り立つ最大の $a$ は $1$。

微分で谷を特定する(本解)代わりに、「成立の証明(相加相乗)」と「限界の一撃($x=1$ の反例)」の挟み撃ちにした。最大値・最小値の答案はいつも、この2部構成(達成できる+超えられない)でできている。