3次曲線とx軸で囲む2つの部分の面積(対称性)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず $x$ 軸との交点。$y=x(x-1)(x-2)$ と因数分解でき、交点は $x=0,1,2$。囲まれる部分は $[0,1]$ の山と $[1,2]$ の谷の2つだ。

「面積が等しい」を積分で確かめてもよいが、より深い理由がある。3次曲線は変曲点について点対称で、この曲線の変曲点はちょうど真ん中の交点 $(1,0)$。

$f(1+t)=-f(1-t)$ を確かめれば、山と谷は $(1,0)$ を中心に180度回して重なる合同な図形 — 面積は等しいに決まっている、と言える。

① 交点と対称性。 $f(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$、$x$ 軸との交点は $x=0,1,2$。$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=0\Rightarrow x=1$、$f(1)=0$ より変曲点 $(1,0)$。$t$ を用いて $$f(1+t)=(1+t)t(t-1)=t(t^2-1)=t^3-t,f(1-t)=(1-t)(-t)(-t-1)=-t(t^2-1)=-(t^3-t).$$ よって $f(1+t)=-f(1-t)$、グラフは $(1,0)$ に関して点対称。

② 面積が等しい。 $[0,1]$ の部分($x$ 軸の上、$f\ge 0$)と $[1,2]$ の部分($x$ 軸の下、$f\le 0$)は、点 $(1,0)$ のまわりの $180^{\circ }$ 回転で互いに移り合う。合同だから面積は等しい。

③ 確認(積分)。 $${\int }_0^1(x^3-3x^2+2x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]}_0^1=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4},$$ $${\int }_1^2(x^3-3x^2+2x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right]}_1^2=(4-8+4)-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}.$$ どちらも大きさ $\frac{1}{4}$ で、$2$ つの部分の面積は等しい。

まとめ 変曲点 $(1,0)$ 対称($f(1+t)=-f(1-t)$)により $2$ 部分が合同、面積はともに $\frac{1}{4}$。微分(対称性)と積分(面積)の融合。

発展 — 一歩先へ。 面積が等しいのは、変曲点(点対称の中心)がちょうど $x$ 軸上の真ん中の交点にあるからだ。たとえば $y=x(x-1)(x-3)$ では変曲点が $x$ 軸から外れ、2つの部分の面積は等しくならない。「3次と直線で囲む2つの面積が等しい $⟺$ 直線が変曲点を通る」— この一般則まで持ち帰ると、他の問題でも一目で判定できる。

別解

別解 — 平行移動して奇関数にする(計算で示すルート)。 対称の中心 $(1,0)$ を原点に移す。$x=u+1$ を代入すると

$$y=(u+1)u(u-1)=u^3-u.$$

奇関数だ。奇関数のグラフは原点対称だから、$[-1,0]$ の部分($x$ でいえば $[0,1]$ の山)と $[0,1]$ の部分($[1,2]$ の谷)は合同で、面積は等しい。

値も出る。${\int }_0^1(u^3-u)du=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ より、谷(下側)の面積は $\frac{1}{4}$、対称性から山も $\frac{1}{4}$。

「点対称の確認 $f(1+t)=-f(1-t)$」(本解)と「移動して奇関数」は同じことだが、移動してしまえば偶奇性という手慣れた道具で全部片づく。