数学II / 微分の考え

接線が3本引ける条件

★★★ 応用接線解の個数

問題

点 $(2, a)$ から曲線 $y = x^{3}$ に $3$ 本の接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

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接点を文字でおいて接線を作り、 $(2, a)$ を通る条件をその文字の $3$ 次方程式にする。接線が $3$ 本 ⟺ その方程式に異なる実数解が $3$ 個 — 解の個数の問題に化けた。

解答・解説

接点を $(t, t^{3})$ とおき、接線が $(2, a)$ を通る条件から $a$ を $t$ の式で表す。接線の本数 = その $t$ の方程式の実数解の個数。 $t$ の $3$ 次関数として、 $3$ 解をもつ条件を極値で調べる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $3$ 本の接線が引ける」条件を、直接扱うのは難しい。接線を $1$ 本ずつ数える発想から離れたい。

接線は接点で決まる。そこで接点を $(t, t^{3})$ と文字でおく。

この点での接線が $(2, a)$ を通る、という条件を立てると、 $a$ が $t$ の式で表せる。

すると「接線の本数」は「その $t$ の方程式の実数解の個数」に化ける。本数を解の個数に翻訳する、この飛躍が主題だ。

重要接線の本数 = 接点パラメータ

t

の方程式の実数解の個数

① 接線を作り、通る条件を書く。 接点 $(t, t^{3})$ 、 $f^{'} (t) = 3 t^{2}$ より接線は

$y = 3 t^{2} (x - t) + t^{3}$

これが $(2, a)$ を通るので $x = 2$ 、 $y = a$ を代入する。

$a = 3 t^{2} (2 - t) + t^{3} = 6 t^{2} - 3 t^{3} + t^{3} = - 2 t^{3} + 6 t^{2}$

② 本数を $t$ の解の個数に翻訳する。 接線 $3$ 本 ⟺ この方程式が異なる $3$ 個の $t$ をもつ。 $g (t) = - 2 t^{3} + 6 t^{2}$ と横線 $y = a$ の交点が $3$ 個になればよい。

③ $g (t)$ の極大・極小を求める。 $g^{'} (t) = - 6 t^{2} + 12 t = - 6 t (t - 2)$ 。

④ $3$ 交点の条件を書く。 横線 $y = a$ が極小 $0$ と極大 $8$ のあいだ。

$0 < a < 8$

接線の本数 = a=-2t^3+6t^2 の解の個数。横線 y=a が0と8のあいだで3本

まとめ:接線の本数問題は「接点 $t$ を文字におく → 通る条件で $t$ の方程式 → 解の個数を極値で調べる」。本数 = $t$ の解の個数、が発想の要だ。

発展 — 一歩先へ。 「点から曲線に何本接線が引けるか」は、いつでも「接点を $t$ とおいたときの方程式が何個の実数解をもつか」に翻訳できる。接点が違えば接線も違うので、接点の個数がそのまま接線の本数になる。

だからこの種の問題は、見た目は接線でも、中身は $t$ の方程式の実数解の個数を数える問題。定数分離や極値の積の符号など、方程式の解の個数を調べる道具がそのまま効く。

接線・法線・共通接線など「曲線に触れる直線」を数える問題は、この「触れる位置をパラメータにして方程式に落とす」一手でほぼ攻略できる。

答

$0 < a < 8$

別解 — 極大値と極小値の積の符号で判定する(得意な人向けの視点)。 通過条件から得た方程式 $- 2 t^{3} + 6 t^{2} = a$ 、すなわち

$F (t) = - 2 t^{3} + 6 t^{2} - a = 0$

が異なる $3$ つの実数解 $t$ をもてばよい。定数分離してグラフを描かなくても、 $F$ の極大値と極小値の積が負であればよい、と言い換えられる。

$F^{'} (t) = - 6 t^{2} + 12 t = - 6 t (t - 2)$ より、極値は $t = 0$ と $t = 2$ 。

$F (0) = - a, F (2) = 8 - a .$

異なる $3$ 実解の条件は、この $2$ つの積が負であること。

$F (0) \cdot F (2) = (- a) (8 - a) < 0 ⟹ a (8 - a) > 0 ⟹ 0 < a < 8.$

横線と曲線の交点を数える本解と同じ $0 < a < 8$ 。 $3$ 次関数のグラフが軸を $3$ 回横切るのは山が上・谷が下にあるとき、という「極値の積が負」の判定を使うと、グラフを描かずに済む。