区間における3次関数の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 区間つきの最小値は、候補がわずかしかない。区間の両端と、区間内にある谷(極小点)だけだ。

$f^{\prime }(x)=3(x-a)(x+a)$ から、$x\ge 0$ の側では $x=a$ が谷。問題は、この谷が区間 $[0,1]$ の中にあるか外にあるかが、$a$ しだいで変わることだ。

だから境目 $a=1$ で場合を分ける。谷が中にあれば谷が最小。右の外にあれば、区間内はずっと下り坂で、右端が最小になる。

① 増減。 $f^{\prime }(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)$。$0\le x$ では $x+a>0$ だから、$f^{\prime }$ の符号は $x-a$ で決まる。$x<a$ で減少、$x>a$ で増加。谷は $x=a$。

② 谷が区間内($0<a\le 1$)。 最小は $x=a$ で、

$$f(a)=a^3-3a^2\cdot a=a^3-3a^3=-2a^3$$

③ 谷が区間の右外($a>1$)。 このとき $[0,1]$ 全体で $x<a$、つまり $f$ は減少。最小は右端 $x=1$ で、

$$f(1)=1-3a^2$$

まとめると、最小値は $0<a\le 1$ のとき $-2a^3$、$a>1$ のとき $1-3a^2$。

まとめ:「谷 $x=a$ が区間に入るか」で $a\le 1$ と $a>1$ に場合分け。入れば谷が、外れれば近い端が最小。区間つき最適化は、まず極値の位置と区間の関係を図で押さえるのが急所。

発展 — 一歩先へ。 最小値を $a$ の関数 $m(a)$ とみると、境目 $a=1$ で値が $-2$ にそろって連続なだけでなく、傾きまで一致する($-2a^3$ の微分 $-6a^2$ も、$1-3a^2$ の微分 $-6a$ も、$a=1$ で $-6$)。谷がちょうど端点に重なる瞬間に式が切り替わるため、つなぎ目がなめらかになる。「境目で値が一致するか」を見る検算の習慣は、場合分けの答案の強い味方だ。

別解

候補を全部並べて比べる(候補主義)。 閉区間での最小値の候補は、そもそも区間の両端と区間内の極値点しかない。だから候補の値を書き出して比べてもよい。

候補は $f(0)=0$、$f(1)=1-3a^2$、そして $a\le 1$ のときだけ参加できる $f(a)=-2a^3$。

• $0<a\le 1$ のとき:3候補の比較。$-2a^3<0=f(0)$ は明らか。また $1-3a^2+2a^3=(1-a{)}^2(1+2a)\ge 0$ と因数分解できるから $-2a^3\le 1-3a^2$。よって最小は $-2a^3$。
• $a>1$ のとき:候補は両端の2つ。$1-3a^2<1-3<0=f(0)$ だから最小は $1-3a^2$。

増減表(本解)は関数の道中まで教えてくれるが、最小値だけ欲しいなら候補の総当たりでも確実に着く。因数分解 $(1-a{)}^2(1+2a)$ が、境目 $a=1$ でちょうど同点になる(等号成立)ことまで教えてくれるのも収穫だ。