微分係数の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 微分係数 $f^{\prime }(a)$ とは、導関数 $f^{\prime }(x)$ に $x=a$ を代入した値である。

手順は $2$ 段階。

手順1: 導関数を求める。

$$f(x)=x^3⟹f^{\prime }(x)=3x^2$$

手順2: $x=-1$ を代入する。

$$f^{\prime }(-1)=3\times (-1{)}^2=3\times 1=3$$

$(-1{)}^2=+1$ — 符号に注意する。$-1$ を $2$ 乗すれば正になる。

答えは $3$(負ではない)。

この $3$ という値の意味。 曲線 $y=x^3$ の、点 $(-1,-1)$ における接線の傾きが $3$ ということだ。

傾きが正 → その点で、グラフは右上がり(増加している)。

導関数は $f^{\prime }(x)=3x^2$。$x=-1$ を代入する。

$$f^{\prime }(-1)=3\times (-1{)}^2=3\times 1=3$$

$(-1{)}^2=1$(負の $2$ 乗は正)なので $f^{\prime }(-1)=3$。

まとめ:微分係数は「導関数に代入」で速く出せる。定義の極限は $2$ 番の問題のように、意味を確かめるときに使う。

発展 — 一歩先へ。 導関数 $f^{\prime }(x)$ は、もとの関数の設計図である。$f^{\prime }$ の符号を読むだけで、グラフの形が分かる。

$$\boxed{f^{\prime }(x)>0\to \text{増加},f^{\prime }(x)<0\to \text{減少},f^{\prime }(x)=0\to \text{水平}}$$

$y=x^3$ の場合、$f^{\prime }(x)=3x^2\geqq 0$ — だから常に増加。

では、$f^{\prime }$ をもう $1$ 回微分したら?

$$f^{\prime \prime }(x)=6x$$

この $f^{\prime \prime }$(第 $2$ 次導関数)は、「傾きの変化率」を表す。

• $f^{\prime \prime }>0$($x>0$)→ 傾きが増えていく → グラフは下に凸(お椀型)
• $f^{\prime \prime }<0$($x<0$)→ 傾きが減っていく → グラフは上に凸(山型)
• $f^{\prime \prime }=0$($x=0$)→ 凸の向きが変わる → 変曲点

$y=x^3$ の原点は、上に凸から下に凸へ切り替わる"変曲点"だった。

$f^{\prime }$ が「速度」なら、$f^{\prime \prime }$ は「加速度」だ。

車の運転で言えば:

• $f$: 位置(どこにいるか)
• $f^{\prime }$: 速度(どれだけ速く動いているか)
• $f^{\prime \prime }$: 加速度(どれだけ速度が変わっているか)

アクセルを踏むと加速度が正、ブレーキを踏むと負。

そして、ニュートンの運動方程式は

$$F=ma=m{f}^{\prime \prime }(t)$$

「力は、位置の $2$ 階微分に比例する」 — 世界のすべての運動が、この $1$ 本の式から計算される。

$f^{\prime }(-1)=3$ という小さな計算。 そこから、微分・$2$ 階微分・運動方程式へと、道は一直線につながっている。

別解

定義から直接計算して、公式の答えを検証しよう。 そして、$f^{\prime }(-1)=3$ という値が「グラフの形」について何を語っているかを読む。

定義から計算する。

$$f^{\prime }(-1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}$$

分子を展開する。

$$f(-1+h)=(-1+h{)}^3=-1+3h-3h^2+h^3$$

($(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ に $a=-1$、$b=h$ を代入。符号に注意:$a^3=-1$、$3a^{2}b=3h$、$3a{b}^2=-3h^2$、$b^3=h^3$。)

$$f(-1)=-1$$

$$f(-1+h)-f(-1)=3h-3h^2+h^3$$

$h$ で割る。

$$\frac{3h-3h^2+h^3}{h}=3-3h+h^2$$

$h\to 0$ とする。

$$f^{\prime }(-1)=3✓$$

公式と一致した。 定義から計算しても、ちゃんと $3$ になる。

さて、$f^{\prime }(-1)=3$ という値は、何を語っているのか。

$y=x^3$ のグラフの、点 $(-1,-1)$ での接線の傾きが $3$。

傾き $3$ は、けっこう急だ。 $x$ が $1$ 増えると $y$ が $3$ 増える勢いで、グラフは上昇している。

$y=x^3$ の導関数を、もう $1$ 度眺めてほしい。

$$f^{\prime }(x)=3x^2$$

これは常に $0$ 以上($2$ 乗だから)。

$$\boxed{f^{\prime }(x)\geqq 0⟹y=x^3\text{は、つねに増加している}}$$

$x$ が負でも正でも、グラフは右上がり。 どこにも"下り坂"がない。

唯一の例外は $x=0$ である。ここで $f^{\prime }(0)=0$ — 傾きが $0$ になり、水平になる。

しかし、そこで極値をとるわけではない。 前後を見ると

• $x=-0.1$ で $f^{\prime }=0.03>0$(上り)
• $x=0$ で $f^{\prime }=0$(水平)
• $x=0.1$ で $f^{\prime }=0.03>0$(上り)

上り → 水平 → 上り。 一瞬だけ平らになるが、下がらずにまた上る。

これを「変曲点で接線が水平になる」という。 極大でも極小でもない — $f^{\prime }(a)=0$ でも、極値とは限らないのだ。

この事実は、次に学ぶ「極値」の議論で決定的に重要になる。

$$\boxed{f^{\prime }(a)=0\text{は、極値であるための"必要条件"にすぎない}}$$

$f^{\prime }$ が $0$ になる点を見つけたら、その前後で $f^{\prime }$ の符号が"変わるか"を必ず確かめる — 変わらなければ、極値ではない。

$y=x^3$ の原点は、その最も有名な反例である。