数学II / 微分の考え

閉区間での最大・最小(3次)

★★★ 応用最大最小

問題

$- 2 ≦ x ≦ 3$ における関数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ の最大値と最小値を求めよ。

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候補(極値の $x$ )と両端、すべての値を出してくらべる基本どおり。計算する値が $4$ つあるので、雑にならないように。

解答・解説

$f^{'} = 0$ の解のうち区間内のものと、両端 $x = - 2, 3$ の値をすべてくらべる。係数が大きいので計算を丁寧に。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 閉じた区間 $- 2 ≦ x ≦ 3$ での $3$ 次関数の最大・最小。

この型は候補が決まっている。区間の内部で $f^{'} = 0$ になる点(極値)と、区間の両端。この中に最大と最小がある。

だから候補の値をすべて出してくらべればよい。方針で悩む問題ではない。

係数が大きく計算がかさむので、 $4$ つの値を落ち着いて正確に出しそろえる実行力が問われる。

公式閉区間の最大最小 = 区間内の

f^{'} = 0

の点と両端の値をすべてくらべる

① $f^{'} = 0$ の候補を出す。

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x^{2} - x - 2) = 6 (x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 1, 2$

どちらも区間 $[- 2, 3]$ 内。

② 候補と両端の値を計算する。

$f (- 2) = - 16 - 12 + 24 = - 4, f (- 1) = - 2 - 3 + 12 = 7$

$f (2) = 16 - 12 - 24 = - 20, f (3) = 54 - 27 - 36 = - 9$

③ 最大・最小を選ぶ。 値は ${- 4, 7, - 20, - 9}$ 。

$最大値 7 (x = - 1), 最小値 - 20 (x = 2)$

y=2x^3-3x^2-12x(-2≦x≦3):最大7(x=-1)・最小-20(x=2)

まとめ:手順は $3$ 次でも同じ。 $f^{'} = 0$ の解と両端、合わせて $4$ つの値を出してくらべる。極大値 $7$ が最大、極小値 $- 20$ が最小になり、端点は中間の値だった。

発展 — 一歩先へ。 どんな $3$ 次関数も、変曲点を中心にして点対称になる。この問題の $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ は $f^{''} (x) = 12 x - 6 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$ が対称の中心だ。

区間 $[- 2, 3]$ の真ん中もちょうど $x = \frac{1}{2}$ 。区間が対称の中心にそろっているので、両端の値は中心の高さを軸に上下対称になり、極大の相手が極小になる。

「最大最小の候補を全部くらべる」基本は、区間が対称なときには半分の手間で済む。対称性に気づくと、出した値の検算にもなる。

答

最大値 $7$ ( $x = - 1$ )、最小値 $- 20$ ( $x = 2$ )

別解 — 対称の中心をとらえて候補を半分にする(得意な人向けの視点)。 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ の変曲点(対称の中心)は $f^{''} (x) = 12 x - 6 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$ 。中心の高さは

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} - 3 \cdot \frac{1}{4} - 12 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{13}{2} .$

$3$ 次関数はこの点に関して点対称だから、中心から等距離の $2$ 点の値の和はつねに $2 f (\frac{1}{2}) = - 13$ になる。

区間 $[- 2, 3]$ の中点も $x = \frac{1}{2}$ 。だから左端と右端、極大点と極小点が、それぞれ中心をはさんで向かい合う。

極値の $x = - 1$ と $x = 2$ は中心について対称。片方 $f (- 1) = 7$ を出せば、もう片方は

$f (2) = - 13 - f (- 1) = - 13 - 7 = - 20.$

両端も $f (- 2) + f (3) = - 13$ で確かめられる。最大 $7$ ( $x = - 1$ )・最小 $- 20$ ( $x = 2$ )。 $4$ つを別々に計算する本解と同じ答えに、対称性を使えば半分の計算でたどり着く。