数学II / 微分の考え

曲線外の点から引いた接線

★★ 標準接線

問題

点 $(0, - 1)$ から曲線 $y = x^{2}$ に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

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点 $(0, - 1)$ は曲線の上にない — だから接点がまだ分からない。接点の $x$ 座標を文字でおいて接線を作り、それが $(0, - 1)$ を通る条件で文字を決める、という順番で攻める。

解答・解説

接点を $(t, t^{2})$ と文字でおくのがカギ。接点での接線を作り、それが $(0, - 1)$ を通る条件から $t$ を決める。 $t$ が $2$ つ出れば接線も $2$ 本。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず確かめたいこと。 $(0, - 1)$ は曲線 $y = x^{2}$ の上にない( $0^{2} \neq = - 1$ )。だからこの点を接点にはできない。

接点がどこか分からない — なら、接点を $(t, t^{2})$ と文字でおいてしまう。

$t$ での接線を作り、「それが $(0, - 1)$ を通る」という条件で $t$ の方程式を立てる。 $t$ が $2$ つ出れば、接線も $2$ 本。「接点を未知数に、通過条件で方程式」が曲線外接線の定跡だ。

重要通る点が曲線上にないときは、接点を

(t, f (t))

とおいて

t

を決める

① 接点を文字でおき、接線を作る。 接点を $(t, t^{2})$ とする。 $f^{'} (x) = 2 x$ より傾きは $2 t$ 。

$y = 2 t (x - t) + t^{2} = 2 t x - t^{2}$

② $(0, - 1)$ を通る条件を書く。 $x = 0$ 、 $y = - 1$ を代入。

$- 1 = 2 t \cdot 0 - t^{2} = - t^{2} \Rightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = \pm 1$

③ それぞれの接線を書く。

$t = 1 : y = 2 x - 1, t = - 1 : y = - 2 x - 1$

(0,-1)から y=x^2 への2本の接線 y=2x-1, y=-2x-1(接点(±1,1))

まとめ:「曲線の外の点から接線」は、接点 $(t, f (t))$ を文字でおくのが決め手。接線が通る点の条件で $t$ の方程式を作る。 $t$ の個数がそのまま接線の本数だ。

発展 — 一歩先へ。 外の点から引ける接線の本数は、点の位置で変わる。放物線の下側(今回の $(0, - 1)$ )からは $2$ 本、放物線上からは $1$ 本、内側(上側)からは $0$ 本。 $t$ の方程式の実数解の個数が、そのまま本数になっている。

$3$ 次曲線で同じ問いを立てると「接線が $3$ 本引ける点の範囲」という入試の定番になる。そこでも武器は今回と同じ「接点 $t$ をおいて、通過条件を $t$ の方程式にする」— この型は上の学年までそのまま持ち上がる。

答

$y = 2 x - 1$ 、 $y = - 2 x - 1$

放物線に限っては、微分を使わない判別式ルートがある。

$(0, - 1)$ を通る直線を $y = m x - 1$ とおく( $y$ 切片が $- 1$ と分かっているから、未知数は傾き $m$ だけ)。

曲線と連立して

$x^{2} = m x - 1 ⟺ x^{2} - m x + 1 = 0$

「接する」とは、この $2$ 次方程式が重解をもつこと。判別式で

$D = m^{2} - 4 = 0 ⟺ m = \pm 2$

接線は $y = 2 x - 1$ と $y = - 2 x - 1$ 。本解と同じ答えだ。

接点の $x$ 座標も重解 $x = \frac{m}{2} = \pm 1$ としておまけに出る。「接する=重解」は放物線と直線の専用装備だが、使える場面では計算が軽い。 $3$ 次以上の曲線では判別式が使えないので、本解の「接点を文字でおく」が汎用ルートになる。