3次関数のグラフの点対称性(論証)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)「点 $(2,2)$ に関して対称」とは何か。点対称は「その点を中心に $180°$ 回すと重なる」こと。

式で書くと、$x=2+h$ と $x=2-h$(中心から左右に等距離)での値の平均が、つねに中心の高さ $2$ に等しいこと。

つまり、すべての $h$ で $f(2+h)+f(2-h)=2\cdot 2=4$。左辺を実際に展開して確かめる。

(2)は、直線と曲線の交点全体が点 $\mathrm{A}$ を中心とする対称移動で保たれること、そして $\mathrm{A}$ 自身も交点であること、を組み合わせる。

① (1) 中心の値を確認する。 $f(2)=8-24+18=2$。示すべきことは、すべての実数 $h$ について $f(2+h)+f(2-h)=4$ となることである。

② 実際に計算する。 $f(2+h)=(2+h{)}^3-6(2+h{)}^2+9(2+h)$ を展開すると

$$f(2+h)=h^3-3h+2$$

$h$ を $-h$ に置きかえると $f(2-h)=-h^3+3h+2$。足すと

$$f(2+h)+f(2-h)=4$$

奇数次の項($h^3$、$h$)がすべて打ち消し合い、$h$ によらず一定になる。よって、点 $(2+h,f(2+h))$ と点 $(2-h,f(2-h))$ はつねに $\mathrm{A}(2,2)$ に関して対称の位置にあり、$C$ は $\mathrm{A}$ に関して対称である。(証明終)

③ (2) 交点の集合に対称性を働かせる。 $\mathrm{A}$ を通る直線 $\ell$ は、$\mathrm{A}$ に関する対称移動で自分自身に移る。曲線 $C$ も(1)より自分自身に移る。したがって「$\ell$ と $C$ の交点の集合」も、この対称移動でそっくり自分自身に移る。

交点が異なる $3$ 点のとき、対称移動は $3$ 点の集合を入れかえるが、$2$ 点ずつ組になって移り合うと $1$ 点が必ず余る。余った $1$ 点は対称移動で動かない点、すなわち中心 $\mathrm{A}$ 自身である($f(2)=2$ より $\mathrm{A}$ は実際に $C$ 上にあり、交点になり得る)。残りの $2$ 点は互いに移り合うから、$\mathrm{A}$ はその $2$ 点の中点である。(証明終)

まとめ:$3$ 次関数のグラフはどれも $1$ 点(この問題では $(2,2)$)に関して点対称で、その中心は極大点と極小点の中点でもある。(2)のように「図形の対称性を、集合の言葉で使う」論証は難関大の頻出パターンだ。

発展 — 一歩先へ。 どんな $3$ 次関数 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ も、変曲点 $x=-\frac{b}{3a}$ に関して点対称。本問の $x=2$ はまさに変曲点だ($f^{\prime \prime }(2)=0$)。中心を原点にずらすと $y=a{X}^3+(\text{1次})$ の奇関数になる。「$3$ 次関数は変曲点対称」は、グラフの概形を素早くつかむ強力な事実だ。

別解

別解 — 中心を原点にずらして「奇関数」を見る(得意な人向けの視点)。 点 $(2,2)$ が対称の中心なら、中心を原点に移すと「原点対称=奇関数」になるはず。座標を平行移動して確かめる。

$x=X+2$、$Y=y-2$ とおく。$Y=f(X+2)-2$ を計算する。

$$f(X+2)=(X+2{)}^3-6(X+2{)}^2+9(X+2)=X^3-3X+2.$$

だから $Y=f(X+2)-2=X^3-3X$。

これは $X$ の奇数乗だけの奇関数($X\to -X$ で符号が反転)。奇関数は原点対称。もとに戻せば、曲線は点 $(2,2)$ に関して対称。

$f(2+h)+f(2-h)=4$ を展開で示す本解と同じ。「対称の中心を原点に運ぶと奇関数」という見方は、$3$ 次関数がつねに変曲点に関して点対称であること(変曲点 $x=-\frac{(\text{2次係数})}{3\times 3}$)の一般論にそのままつながる。