数学II / 微分の考え
4次関数の極値
問題
関数 の極値を求めよ。
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次でも方針は同じ — を解いて増減表。ただし が 次なので解は つ、符号の変化も か所。極大と極小がどう並ぶかを表で確かめよう。
解答・解説
方針
次関数でも手順は同じ。( 次式)を因数分解して の解を出し、符号の変化で極大・極小を判定する。 次関数は「谷・山・谷」と極値が つになることがある。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 次関数でも、極値を探す手順は 次とまったく同じ。
を計算し、 の解を求める。今回は が 次式なので、因数分解して解を出す。
各解の前後で の符号がどう変わるかを見て、極大か極小かを判定する。
次関数は「谷・山・谷」と極値が つになりうる。増減の形が 次より豊かになる点を、増減表で確認する。
① を因数分解する。
は 。
② 符号を左から調べる。 の符号は、 で負、 で正、 で負、 で正。
- :負→正 で極小。。
- :正→負 で極大。。
- :負→正 で極小。。
まとめ: 次関数は導関数が 次なので、 が最大 解。符号が「負・正・負・正」と 回変わり、谷・山・谷の 極値になる。左から順に符号を追うのがコツだ。
発展 — 一歩先へ。 つの極値の値は、じつは つの放物線の上に並ぶ。 を導関数 で割った余りを とすると、極値点では だから、極値の値は に一致する。
この問題では で、極値 はすべてこの放物線上にある。実際 と合う。
極値を結ぶこの曲線を「極値曲線」と呼ぶ。個々の代入をせずとも、余りの多項式が極値の高さをまとめて教えてくれる、というのが一歩先の視点だ。
極大値 ()、極小値 ()、極小値 ()
別解
別解 — を で割った余りで極値を一気に出す(得意な人向けの視点)。 極値をとる では 。だから を で割り算して
の形にすれば、極値点では となり、極値の値は余り の値に等しい。 は次数が つ下がって 次式なので、代入がぐっと軽くなる。
実際に を で割ると
余りは 。極値点 を に入れると
次式にそのまま代入する本解と同じ極値 が、 次式への代入で得られる。極大・極小の区別は、本解どおり の符号から付ければよい。
ポイント
- 次 → は 次。極値は最大 つ。
- 符号を左から順に追って極大・極小を判定。
よくある間違い
- の共通因数 をくくり忘れ、因数分解 に至らない。
- の解 の並び順を間違え、符号の変化を「負・正・負・正」と正しく追えない。
- 極値の個数を 次だからと つと思い込み、 が 次で解は最大 つである点を見落とす。