数学II / 微分の考え

3次方程式の解の個数(一般)

★★★ 応用解の個数極値

問題

方程式 $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - k = 0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

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定数分離で『曲線と横線』の構図へ。曲線の山と谷を求めれば、 $3$ 交点の条件は不等式で書ける。 $k$ の符号の付き方だけ慎重に。

解答・解説

$k$ を分離して $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = k$ とする。 $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ の極大値・極小値を求め、横線 $y = k$ がそのあいだにある条件を書く。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定数 $k$ が $1$ か所にまとまっているので、定数分離の型だ。

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = k$ と移項する。左辺 $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ は決まった曲線、右辺 $y = k$ は横線になる。

異なる $3$ 実解をもつのは、横線が曲線の山(極大)と谷(極小)のあいだを通るとき。

だから左辺の極大値と極小値を求め、そのあいだに $k$ がある、という不等式に落とせばよい。

重要解の個数 =

y = g (x)

と横線

y = k

の交点数。

3

個 ⟺ 極小

< k <

極大

① 定数を分離する。

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x = k$

② 極大・極小を求める。 $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ 、 $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1)$ 。

③ $3$ 交点の条件を書く。 横線 $y = k$ が極小 $- 27$ と極大 $5$ のあいだ。

$- 27 < k < 5$

y=x^3-3x^2-9x。横線 y=k が極小-27と極大5のあいだで交点3個

まとめ: $k$ の分離ができれば、あとは横線との交点数。極大値 $5$ ・極小値 $- 27$ のあいだに $k$ があるとき、交点が $3$ 個(異なる $3$ 実解)になる。

発展 — 一歩先へ。 $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ の極大値は $5$ ( $x = - 1$ )、極小値は $- 27$ ( $x = 3$ )。 $3$ 交点をもつ境界 $k = 5, - 27$ は、この極値そのものだ。

別解の判別式 $Δ = - 27 (k - 5) (k + 27)$ が同じ $k = 5, - 27$ で $0$ になるのも、これで説明がつく。 $k$ が極値に等しいと横線 $y = k$ が曲線に接し(重解)、そのとき $Δ = 0$ になるからだ。

$3$ 実解の条件を、極値の高低で見るか、判別式の符号で見るか。グラフと代数の $2$ つの見方が、同じ境界で握手する。

答

$- 27 < k < 5$

別解 — $3$ 次方程式の判別式で判定する(得意な人向けの視点)。 グラフを描かなくても、 $3$ 次方程式の判別式 $Δ$ の符号だけで実数解の個数が決まる。 $Δ > 0$ が「異なる $3$ 実解」の条件だ。

$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - k$ は $a = 1, b = - 3, c = - 9, d = - k$ 。 $3$ 次の判別式

$Δ = 18 ab c d - 4 b^{3} d + b^{2} c^{2} - 4 a c^{3} - 27 a^{2} d^{2}$

に代入する。各項を順に計算すると

$Δ = - 486 k - 108 k + 729 + 2916 - 27 k^{2} = - 27 k^{2} - 594 k + 3645.$

これを因数分解すると

$Δ = - 27 (k^{2} + 22 k - 135) = - 27 (k - 5) (k + 27) .$

異なる $3$ 実解の条件 $Δ > 0$ は $(k - 5) (k + 27) < 0$ 、すなわち

$- 27 < k < 5.$

極値のあいだに横線がある、と読む本解と同じ範囲。判別式は、グラフを描かずに解の個数を代数だけで判定する強力な道具だ。