数学II / 微分の考え

2曲線が接する条件

最難関編接線共通接線

問題

曲線 $y = x^{3}$ と曲線 $y = 3 x^{2} + a$ が接するとき、定数 $a$ の値をすべて求めよ。

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2曲線が接するとは、共有点で「高さが等しい」だけでなく「傾きも等しい」こと。まず傾きの一致 $3 x^{2} = 6 x$ で接点の候補 $x$ を絞れるか。

解答・解説

方針

「接する」= ある $x$ で $y$ の値が一致し、かつ接線の傾き( $y^{'}$ )も一致する。2式を連立して $x$ を絞り、それぞれの $a$ を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2曲線が「接する」とは、共有点でただ交わるのではなく、その点で接線の傾きまで一致することだ。

条件は2本になる。値の一致 $x^{3} = 3 x^{2} + a$ と、傾きの一致 $3 x^{2} = 6 x$ 。

よく見ると、傾きの式には $a$ が入っていない。だから先に傾きの一致で接点の候補 $x$ を絞り、あとから値の一致で各候補の $a$ を求める。この順番がいちばん速い。

重要2曲線が接する ⟺ 共有点で「値が一致」かつ「微分係数(傾き)が一致」

① 傾きの一致。 それぞれ微分して $y^{'} = 3 x^{2}$ と $y^{'} = 6 x$ 。等しいとおくと

$3 x^{2} = 6 x ⟺ 3 x (x - 2) = 0 ⟺ x = 0, 2$

② 値の一致で $a$ を決める。 $x^{3} = 3 x^{2} + a$ すなわち $a = x^{3} - 3 x^{2}$ に代入。

$x = 0$ のとき $a = 0 - 0 = 0$
$x = 2$ のとき $a = 8 - 12 = - 4$

③ 確認。 $a = 0$ : $y = x^{3}$ と $y = 3 x^{2}$ は $x = 0$ で接する(実際 $x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x - 3)$ で $x = 0$ が2重根)。 $a = - 4$ : $y = x^{3}$ と $y = 3 x^{2} - 4$ は $x = 2$ で接する( $x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x - 2)^{2} (x + 1)$ で $x = 2$ が2重根)。ともに接点で2重根をもち、確かに接している。

$∴ a = 0, - 4$

y=x³ と y=3x²+a が接する。a=−4 のとき x=2 で接する(図)。a=0 のときは原点で接する

まとめ:接する条件は「値の一致」+「傾きの一致」の2本立て。 $a$ を含まない傾きの式を先に使って接点 $x = 0, 2$ を絞るのが急所。差 $x^{3} - 3 x^{2} - a$ が2重根をもつ( $= (x - p)^{2} (\dots)$ )ことと同値。

発展 — 一歩先へ。 一般に、曲線の族 $y = g (x) + a$ を上下に動かして $y = f (x)$ に触れる瞬間の $a$ は、差 $f (x) - g (x)$ の極値にほかならない。本問は差 $x^{3} - 3 x^{2}$ の極値 ${0, - 4}$ がそのまま答えになった。「接する $a$ を求めよ」という問いの多くが、この「差の極値」の一言に還元される。

答

$a = 0$ (原点で接する)と $a = - 4$ ( $x = 2$ で接する)

別解

定数分離して「水平線が接する瞬間」を探す。 2式の差から $a$ を分離すると

$x^{3} = 3 x^{2} + a ⟺ a = x^{3} - 3 x^{2}$

「2曲線が接する」は、差 $x^{3} - 3 x^{2} - a$ が2重根をもつこと。それは水平線 $y = a$ が曲線 $y = x^{3} - 3 x^{2}$ に接することと同じだ。

水平線が曲線に接するのは、極値の高さのときだけ。 $h (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ は $h^{'} (x) = 3 x (x - 2)$ より、 $x = 0$ で極大 $h (0) = 0$ 、 $x = 2$ で極小 $h (2) = - 4$ 。

$∴ a = 0, - 4$

「傾き一致+値一致」の連立(本解)と「差の関数の極値」(本ルート)は、同じ答えの2つの顔。定数 $a$ の入り方が平行移動だけなら、差を作って極値を読むほうが速いことも多い。

ポイント

接する ⟺ 値一致かつ傾き一致。
$3 x^{2} = 6 x$ で接点 $x = 0, 2$ 。
$a = x^{3} - 3 x^{2}$ より $a = 0, - 4$ 。

よくある間違い

「接する $=$ 共有点が1個」と誤解する。 $a = - 4$ では接点 $x = 2$ のほかに $x = - 1$ でも交わる(差 $= (x - 2)^{2} (x + 1)$ )。接するとは局所の2重根の話。
値の一致だけを連立して、「交わる」と「接する」の区別がつかなくなる。
傾きの一致 $3 x^{2} = 6 x$ だけで $x = 0, 2$ を出し、値の一致( $a$ の決定)を忘れて接点の $x$ を答えにする。