数学II / 微分の考え

絶対値つき3次関数の最大値

★★★★ 難関最大・最小絶対値場合分け

問題

$a > 0$ とする。関数 $f (x) = ∣ x^{3} - 3 x ∣$ の $0 ≦ x ≦ a$ における最大値 $M (a)$ を求めよ。

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絶対値の中身のグラフをかいて折り返し、区間の右端 $a$ を動かすイメージで考える。最大値の『主役』が交代する瞬間が $2$ 回ある — それぞれどこで起きるか。

解答・解説

方針

まず $y = ∣ x^{3} - 3 x ∣$ のグラフを $x ≧ 0$ でかく( $x$ 軸より下を折り返す)。区間の右端 $a$ を $0$ から増やしていき、最大値の「主役」が交代する $a$ を探す。山の高さ $2$ と、折り返し後に再び $2$ に並ぶ位置がカギ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値つきの最大値。まず $y = ∣ x^{3} - 3 x ∣$ のグラフを $x \geq 0$ で描く。 $x$ 軸より下の部分を上へ折り返す。

区間の右端 $a$ を $0$ から少しずつ増やしていくと、最大値をとる場所が移り変わる。

はじめは折り返した山を登るが、山の頂上(高さ $2$ )で頭打ちになる。

さらに $a$ を進めると、 $x$ が大きい側で $x^{3} - 3 x$ が再び高さ $2$ に並び、そこを追い越すと右端が主役になる。この「主役交代」の $a$ を境に場合分けする。

① グラフを作る。 $x ≧ 0$ で $x^{3} - 3 x = x (x^{2} - 3)$ は $0 ≦ x ≦ 3$ で $0$ 以下、 $x ≧ 3$ で $0$ 以上。だから

$f (x) = {3 x - x^{3} x^{3} - 3 x (0 ≦ x ≦ 3) (x ≧ 3)$

前半は $(3 x - x^{3})^{'} = 3 - 3 x^{2} = 0$ より $x = 1$ で山になり、高さは $f (1) = 2$ 。その後 $x = 3$ で $0$ まで下がり、以降は増加する。

② 「高さ $2$ に追いつく位置」を求める。 増加部分が山の高さ $2$ と並ぶのは $x^{3} - 3 x = 2$ のとき。移項して因数分解すると

$x^{3} - 3 x - 2 = (x - 2) (x + 1)^{2} = 0$

$x ≧ 3$ の解は $x = 2$ 。つまり $x = 2$ で再び高さ $2$ に到達する。

y=|x³−3x|(x≥0)。x=1 の山(高さ2)のあと √3 で 0 に触れ、x=2 で再び高さ 2 に並ぶ

③ 右端 $a$ を動かして場合分けする。

$0 < a ≦ 1$ :区間内で $f$ は増加中。最大は右端で $M (a) = 3 a - a^{3}$ 。
$1 ≦ a ≦ 2$ :山 $x = 1$ が区間に入り、右端はまだ高さ $2$ 未満。 $M (a) = 2$ 。
$a ≧ 2$ :右端が山を追い越す。 $M (a) = a^{3} - 3 a$ 。

境目では $a = 1$ で $3 - 1 = 2$ 、 $a = 2$ で $8 - 6 = 2$ となり、どちらもつながっている(場合分けの検算になる)。

まとめ:区間の端が動く最大値問題は、「グラフのどの部分が最大を担当しているか」の交代劇を追う。絶対値の折り返しで山ができるため、山の高さと『追いつく位置』の $2$ つが場合分けの境目になる。

発展 — 一歩先へ。 区間の端を動かしたときの最大値 $M (a)$ は、いくつかの区間ごとに違う式になる「区分関数」。境目では左右の式の値がつながる(連続)。パラメータつき最大最小は、こうして「主役が交代する点」で場合分けするのが要。 $M (a)$ 自身のグラフを描くと、折れ線的につながる様子が見える。

答

$0 < a ≦ 1$ のとき $M (a) = 3 a - a^{3}$ 。 $1 ≦ a ≦ 2$ のとき $M (a) = 2$ 。 $a ≧ 2$ のとき $M (a) = a^{3} - 3 a$

別解

別解 — $2$ つの候補の背比べ(苦手な人向けの整理ルート)。 最大値の候補は $2$ つしかない。ひとつは折り返した山の頂上の高さ $2$ 。もうひとつは区間の右端 $x = a$ での値 $∣ a^{3} - 3 a ∣$ 。

$a$ が小さいうち( $0 < a \leq 1$ )は、まだ山を登っている途中。右端 $x = a$ が一番高い。 $3 x - x^{3}$ の値で $M (a) = 3 a - a^{3}$ 。

$a$ が $1$ を超えると山の頂上(高さ $2$ )を過ぎる。しばらくは頂上の $2$ が最大。右端の値が $2$ に追いつくのは、 $x^{3} - 3 x = 2$ すなわち $(x + 1)^{2} (x - 2) = 0$ から $x = 2$ のとき。

$a \geq 2$ になると、右端で登っていく $a^{3} - 3 a$ が $2$ を追い越し、右端が主役に戻る。 $M (a) = a^{3} - 3 a$ 。

グラフを描いて追う本解と同じ $3$ 段の場合分け。「頂上の $2$ 」と「右端の値」のどちらが大きいかを比べる、と割り切ると境目 $a = 1, 2$ がはっきりする。

ポイント

折り返した山の高さ $2$ ( $x = 1$ )と、追いつく位置 $x = 2$ が境目。
境目で値がつながることを確かめると場合分けの検算になる。

よくある間違い

絶対値の折り返し( $x$ 軸の下を上へ)を忘れ、 $x^{3} - 3 x$ のまま最大を探す。
山の高さ $2$ に右端が再び並ぶ位置 $x = 2$ ( $x^{3} - 3 x = 2$ )を求め損ねる。
場合分けの境目 $a = 1$ (頂上)と $a = 2$ (右端が追いつく)のどちらかを落とす。