数学II / 微分の考え

3本の接線が引ける点の存在範囲

最難関編接線領域

問題

点 $P (a, b)$ から曲線 $y = x^{3}$ に相異なる3本の接線が引けるような点 $P$ の存在範囲を求め、図示せよ。

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「接線を引く」は接点 $t$ を1つ決めること。 $(a, b)$ を通る条件を $t$ の方程式にして、その実数解の個数が接線の本数だと気づけるか。3実解の条件は極大・極小の符号。

解答・解説

方針

接点を $(t, t^{3})$ とおくと接線は $y = 3 t^{2} x - 2 t^{3}$ 。これが $(a, b)$ を通る条件を $t$ の3次方程式にし、相異なる3実解をもつ条件を極値の積で表す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「P から接線を引く」という操作は、じつは「接点を1つ選ぶ」ことと同じだ。そこで接点の $x$ 座標 $t$ を主役にする。

$y = x^{3}$ の $x = t$ での接線を書き、それが $P (a, b)$ を通るという式を作ると、 $t$ の3次方程式になる。接線の本数=この方程式の相異なる実数解の個数。「3本引ける」は「 $t$ の3次方程式が3実解をもつ」に翻訳された。

3次方程式の3実解の条件は、極大値と極小値が異符号(山が軸の上、谷が下)。これで $a, b$ の不等式が出る。

重要曲線への接線の本数は「接点をパラメータとした方程式の実数解の個数」に等しい

① 接線を接点 $t$ で表す。 $y = x^{3}$ 上の点 $(t, t^{3})$ での接線は、 $y^{'} = 3 x^{2}$ より

$y = 3 t^{2} (x - t) + t^{3} = 3 t^{2} x - 2 t^{3}$

② $P (a, b)$ を通る条件。 代入して

$b = 3 t^{2} a - 2 t^{3} ⟺ 2 t^{3} - 3 a t^{2} + b = 0$

この $t$ の3次方程式の相異なる実数解の個数が、引ける接線の本数。

③ 3実解の条件。 $g (t) = 2 t^{3} - 3 a t^{2} + b$ とおくと $g^{'} (t) = 6 t^{2} - 6 a t = 6 t (t - a)$ 。極値は $t = 0$ と $t = a$ でとり、値は $g (0) = b$ 、 $g (a) = b - a^{3}$ 。相異なる3実解 ⟺ 極大値と極小値が異符号。

定理3次関数が相異なる3実解をもつ ⟺(極大値)

\times

(極小値)

< 0

$g (0) \cdot g (a) < 0 ⟺ b (b - a^{3}) < 0$

$a = 0$ のとき極値をもたない( $g^{'} = 6 t^{2} \geq 0$ )ので不適。よって求める範囲は

$b (b - a^{3}) < 0$

これは曲線 $b = a^{3}$ と直線 $b = 0$ ( $a$ 軸)ではさまれた部分(境界を除く)。

点(a,b)から曲線 y=x³ に相異なる3本の接線が引ける範囲(斜線部)。曲線 b=a³ と a軸のあいだ(境界は除く)。横軸=a、縦軸=b

まとめ:接線の本数を「接点 $t$ の方程式の解の個数」に翻訳するのが最初の急所。あとは3次方程式の3実解条件=極値の積が負、で領域が出る。「本数」を「解の個数」に読み替える発想が要。

発展 — 一歩先へ。 境界が「曲線」と「変曲点の接線」になるのは $y = x^{3}$ に限らない。どんな3次曲線でも、3本引ける領域はこの2本の線ではさまれる(たとえば $y = x^{3} - 3 x$ なら境界は $b = a^{3} - 3 a$ と、変曲点での接線 $b = - 3 a$ )。変曲点の接線は「接点で曲線を横切る」唯一の接線で、本数の地図の分水嶺になっている。

答

$b (b - a^{3}) < 0$ 、すなわち曲線 $b = a^{3}$ と $a$ 軸ではさまれた部分(境界を除く)

別解

本数の地図を作る(平面全体を数え上げる)。 方程式 $g (t) = 2 t^{3} - 3 a t^{2} + b = 0$ の実数解の個数を、点 $(a, b)$ の場所ごとに数えると、答えの意味がはっきり見える。

極値は $g (0) = b$ と $g (a) = b - a^{3}$ (本解と同じ)。その積の符号で分類する:

$b (b - a^{3}) < 0$ :3実解 → 3本(求める領域)
$b (b - a^{3}) > 0$ :1実解 → 1本
$b = 0$ または $b = a^{3}$ (原点を除く):重解を含み2実解 → 2本
原点 $(0, 0)$ : $2 t^{3} = 0$ の3重解 → 1本

境界の正体も読み取れる。 $b = a^{3}$ は「P が曲線の上にある」こと。 $b = 0$ は「P が変曲点 $(0, 0)$ における接線( $x$ 軸)の上にある」ことだ。つまり3本引ける領域は、曲線自身と変曲点の接線にはさまれている。

3本の領域だけ出して終えず、平面全体を1本・2本・3本で塗り分けてみる。接線の本数という量の地形が一望でき、境界のそれぞれに図形的な意味があると分かる。

ポイント

接線の本数= $2 t^{3} - 3 a t^{2} + b = 0$ の実数解の個数。
3実解 ⟺ 極値の積 $b (b - a^{3}) < 0$ 。
曲線 $b = a^{3}$ と $a$ 軸にはさまれた領域。

よくある間違い

3実解の条件を2次の癖で「判別式 $D > 0$ 」と書こうとして手が止まる。3次では極値の積の符号で言うのが定石。
$a = 0$ (極値をもたない場合)の検分を落とす。 $g^{'} = 6 t^{2} \geq 0$ で単調になり、3実解は不可能。
境界を含めて $\leq$ にする。境界の上では接線が重なり、2本(原点では1本)に減る。