極大値と極小値の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3次関数のグラフには、変曲点について点対称という強い性質がある。

極大点と極小点は、この対称の中心をはさんで、ちょうど対称の位置に並ぶ。対称なペアの $y$ 座標の平均は、中心の $y$ 座標そのもの。だから和は変曲点の $y$ の2倍になるはずだ。

証明では、「極値点の中点が変曲点に一致する」ことを解と係数の関係で確かめてから、点対称を使う。極値を個別に計算して足す長い道は避けられる。

① 極値点と変曲点。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。極大・極小をとる $x$ を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係で

$$\alpha +\beta =-\frac{2a}{3}$$

また $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a=0$ より変曲点の $x$ 座標は $x_0=-\frac{a}{3}$。よって

$$\frac{\alpha +\beta }{2}=-\frac{a}{3}=x_0$$

すなわち極大点と極小点は、変曲点を中点として左右対称に並ぶ。

② 点対称の利用。 グラフは変曲点 $(x_0,f(x_0))$ について点対称。$\alpha ,\beta$ は $x_0$ に関して対称($\alpha +\beta =2x_0$)だから、点対称の定義より

$$f(\alpha )+f(\beta )=2f(x_0)$$

が成り立つ。左辺は(極大値)$+$(極小値)、右辺は変曲点の $y$ 座標の2倍。

$$\therefore (\text{極大値})+(\text{極小値})=2f\left(-\frac{a}{3}\right)$$

まとめ:極値を個別に計算せず、「グラフの点対称」と「極値点が変曲点に関して対称」から一気に示すのが急所。点対称 $f(x_0+t)+f(x_0-t)=2f(x_0)$ に $t=\frac{\beta -\alpha }{2}$ を入れた形になっている。

発展 — 一歩先へ。 点対称そのものの証明も、平行移動なら一瞬だ。$X=x+\frac{a}{3}$(変曲点を原点へ移す)と置きかえると、3次式は $X^3+pX+(\text{定数})$ の形になり、2次の項が消える。$X^3+pX$ は奇関数だから原点対称。もとに戻せば「どんな3次曲線も変曲点について点対称」。すべての3次曲線は、原点対称の曲線のただの平行移動なのだ。

別解

割り算の余りで極値を扱う(対称性の定理を使わない)。 グラフの点対称を天下りに使いたくないときは、$f$ を $f^{\prime }$ で割るのが強力だ。

$$f(x)=f^{\prime }(x)Q(x)+R(x)(R\text{は1次以下})$$

実際に割ると、商は $Q(x)=\frac{1}{3}x+\frac{a}{9}$、余りは $R(x)=\left(\frac{2b}{3}-\frac{2a^2}{9}\right)x+c-\frac{ab}{9}$。

極値点 $\alpha ,\beta$ では $f^{\prime }=0$ だから、極値は $f(\alpha )=R(\alpha )$、$f(\beta )=R(\beta )$。$R$ は1次式なので、2点での値の和は中点での値の2倍になる:

$$f(\alpha )+f(\beta )=R(\alpha )+R(\beta )=2R\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)=2R\left(-\frac{a}{3}\right)$$

一方、変曲点 $x_0=-\frac{a}{3}$ では、商がちょうど消える:$Q(x_0)=\frac{1}{3}\left(-\frac{a}{3}\right)+\frac{a}{9}=0$。だから

$$f(x_0)=f^{\prime }(x_0)Q(x_0)+R(x_0)=R(x_0)$$

ゆえに $f(\alpha )+f(\beta )=2R(x_0)=2f(x_0)$。示された。

「極値は $f^{\prime }$ で割った余りで求める」という定石が、和の公式まで一気に運んでくれる。商 $Q$ が変曲点で消えるのが、この証明の小さな奇跡だ。