接線の方程式(2)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と、まったく同じ手順だ。

手順1: 導関数を求める。

$$f(x)=x^2-3x⟹f^{\prime }(x)=2x-3$$

手順2: 接点での傾きを計算する。

$$f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$$

手順3: 点 $(2,-2)$ を通り、傾き $1$ の直線。

$$y-(-2)=1\times (x-2)$$

$$y+2=x-2⟹y=x-4$$

符号に注意。 $y-(-2)=y+2$ — 接点の $y$ 座標が負のとき、ここで事故が起きやすい。

検算しよう。 接点 $(2,-2)$ を代入すると $-2=2-4$ ✓ 確かに通る。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=2x-3$ なので

$$f^{\prime }(2)=2\times 2-3=1$$

② 点 $(2,-2)$ を通る直線を作る。

$$y-(-2)=1\times (x-2)\Rightarrow y=x-4$$

発展 — 一歩先へ。 $y=x^2-3x$ は、$y=x^2$ を平行移動したグラフだ。平行移動と接線の関係を見ておこう。

平方完成する。

$$y=x^2-3x={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}$$

頂点は $\left(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}\right)$。 $y=x^2$ を、右に $\frac{3}{2}$、下に $\frac{9}{4}$ 動かしたものだ。

では、接線はどうなるか。

$y=x^2$ の $(1,1)$ での接線は、傾き $2$ だった。

平行移動すると、$(1,1)$ は $\left(1+\frac{3}{2},1-\frac{9}{4}\right)=\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{4}\right)$ に移る。

この点での接線の傾きを計算すると

$$f^{\prime }\left(\frac{5}{2}\right)=2\times \frac{5}{2}-3=2$$

傾きは $2$ のまま!

$$\boxed{\text{平行移動しても、対応する点での接線の傾きは変わらない}}$$

当然だ。 グラフ全体を、形を変えずにずらしただけなのだから、各点での"傾き"も、そのまま平行移動される。

式でも確かめられる。

$$g(x)=f(x-p)+q⟹g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-p)$$

微分すると、$q$(縦の移動)は消え、$p$ は $x$ の中に残る。 つまり「$p$ だけずれた場所での、元の傾き」— 傾きの分布ごと、平行移動している。

この性質は「微分は平行移動に対して自然に振る舞う」ことを意味する。

そして、これは物理の"ガリレイの相対性"に対応する。 「等速で動く電車の中で物を落としても、地上と同じように落ちる」— 座標を平行移動しても、物理法則(微分方程式)は変わらない。

「移動しても変わらないもの」を探すこと — それが物理学の中心的な問いであり、対称性と保存則(ネーターの定理)という深い理論につながっていく。

接線の傾きが平行移動で変わらない、という小さな観察。 そこにも、世界の対称性の影がある。

別解

公式を使わず、微分係数の定義から傾きを出してみる。 そして「本当に接しているか」を、代数的に検証する。

定義から $f^{\prime }(2)$ を計算する。

$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$

分子を計算する。

$$f(2+h)=(2+h{)}^2-3(2+h)=4+4h+h^2-6-3h=h^2+h-2$$

$$f(2)=4-6=-2$$

$$f(2+h)-f(2)=h^2+h$$

$h$ で割る。

$$\frac{h^2+h}{h}=h+1$$

$$h\to 0⟹f^{\prime }(2)=1✓$$

公式($2x-3$ に $x=2$)と同じ答え。

さて、「本当に接しているか」を確かめよう。

曲線と接線の差を計算する。

$$(\text{曲線})-(\text{接線})=(x^2-3x)-(x-4)=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$$

完全平方! $(x-2{)}^2$ になった。

この式が語ること。

$$(x-2{)}^2\geqq 0(\text{等号は }x=2\text{ のときのみ})$$

つまり

• 曲線は、接線より"上"にある(または同じ高さ)
• $x=2$ でだけ、ぴったり触れる(等号成立)
• 他の点では、必ず接線より上(離れている)

これが「接する」ということの、代数的な姿だ。

「$1$ 点でだけ触れて、他では離れている」 — 交わる(突き抜ける)のとは違う。

比較: 接線でない直線ならどうなるか。

たとえば $y=2x-6$($(2,-2)$ を通るが、傾きが違う)。

$$(x^2-3x)-(2x-6)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

$2$ つの $1$ 次式の積 — $x=2$ と $x=3$ で $0$ になる。$2$ 点で交わっている。

符号も変わる($2<x<3$ では負、その外では正)— 曲線が直線を"突き抜けて"いる。

$$\boxed{\text{接する}\to (x-a{)}^2\text{の形(符号が変わらない)}}$$ $$\boxed{\text{交わる}\to (x-a)(x-b)\text{の形(符号が変わる)}}$$

「重解になる $=$ 接する」 — 数Iで学んだこの事実が、微分で求めた接線でも、ちゃんと成り立っている ✓

$2$ つの単元($2$ 次関数と微分)が、同じ結論に到達した。 数学の異なる道具が、同じ真実を語る — この一致こそが、理論の正しさを支えている。