数学II / 微分の考え
極値から係数を決定
問題
関数 が で極大値 、 で極小値 をとる。定数 、、 の値を求めよ。
ヒントを見る
『 と で極値』は、 の 解が分かっているということ。 解と係数の関係で 、 が決まる。 は極大値の条件から。最後に増減の向きが条件と合っているかも確認。
解答・解説
方針
で極値 ⟺ 、。 は 次式なので、 と を解にもつことから が決まる(解と係数の関係が速い)。 は極大値の条件 から。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件は つ。 と で極値をとること、そしてその極値が と であること。未知数は の つ。
条件を「位置」と「大きさ」に振り分けるのがコツ。
極値の「位置」 は、 かつ を意味する。 は 次式なので、 を解にもつことから が決まる。
極値の「大きさ」は の値。 から残る を決める。位置で を、大きさで を使う、という割り振りが発想だ。
① の解が であることを使う。 と書けるはず。展開して係数をくらべる。
よって 、、つまり 、。
② を極値の条件で決める。 で 。
③ 確かめる。 となり、 で極小値 も満たす。
まとめ:極値の位置 つは「 の 解」。 と因数分解の形で書けば、展開・係数比較で が一気に出る。 は極値そのものの条件で最後に決める。
発展 — 一歩先へ。 極値をとる 点の中点は、 次関数の対称の中心(変曲点)にあたる。この問題では中点が で、 の解 と一致する。
から が、極値の位置だけで即座に決まる。
さらに変曲点の高さは極大値と極小値の平均 だから、曲線は点 を通る。「変曲点=極値点の中点=対称の中心」という三位一体を知っていると、係数決定の見通しが一気に良くなる。
、、
別解
別解 — を素直に連立する(苦手な人向けのルート)。 因数分解の形を見抜かなくても、条件をそのまま式にすればよい。
。極値の位置が だから、そこで 。
本の式を引き算すると が消える。
を上の式に戻して 、つまり 。
最後に極値の大きさ。 より 。検算として となり、 で極小値 も満たす。
因数分解 を展開して係数を比べる本解と同じ 。形の工夫より、 本の式を機械的に連立するほうが手が動く人には、こちらが確実だ。
ポイント
- の係数比較で 。
- は (極値の値)で決める。もう一方は検算に。
よくある間違い
- を決めるのに極値の位置だけを使い、極値の大きさ を使わず が求まらない。
- の最高次係数 を落とし、 などとして を誤る。
- を求めて満足し、もう一方の条件 での検算(増減の向きの確認)を省く。