3点で交わる直線の傾きの範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点の個数は、方程式 $x^3-3x^2=mx$ の相異なる実数解の個数だ。

ここで曲線も直線も原点を通ることに気づくと、$x=0$ が必ず解。つまり $x$ でくくれて、残りは2次方程式になる。

3交点にするには、残った2次が「相異なる2実解」をもち、しかもその解が「$x=0$ とかぶらない」ことが要る。かぶると交点が2個に減ってしまう。この2つ目の条件が本問の罠だ。

① 因数分解。

$$x^3-3x^2=mx⟺x(x^2-3x-m)=0$$

$x=0$ または $x^2-3x-m=0$。

② 3交点の条件。 残りの2次 $x^2-3x-m=0$ が、$0$ と異なる相異なる2実解をもてばよい。

・相異なる2実解:判別式 $D=9+4m>0⟺m>-\frac{9}{4}$

・$x=0$ を解にもたない:定数項 $-m\ne 0⟺m\ne 0$($x=0$ を代入すると $-m$)。

③ まとめ。 以上より

$$m>-\frac{9}{4}\text{かつ}m\ne 0$$

まとめ:共通点 $x=0$ をくくり出し、残る2次に条件を寄せるのが急所。「相異なる2実解」($D>0$)だけでなく「$x=0$ と重ならない」($m\ne 0$)を忘れると交点が減る。$m=-\frac{9}{4}$ は直線が曲線に接する境目。

発展 — 一歩先へ。 個数の全マップは、$m<-\frac{9}{4}$ で1個、$m=-\frac{9}{4}$ で2個、$-\frac{9}{4}<m<0$ で3個、$m=0$ で2個、$m>0$ で3個。パラメータを動かして解の個数を数える問題では、「個数が変わるのは接する(重解の)瞬間だけ」という原理が全体の見取り図を与える。境目の値を先に全部求めてしまえば、あとは各区間で1点ずつ試すだけでマップが完成する。

別解

原点を中心に直線を回す(接線が個数の変わり目)。 傾き $m$ を連続的に動かすと、交点の個数は接する瞬間にだけ変わる。そこで原点から曲線に引ける接線を先に求めてしまう。

接点を $(t,t^3-3t^2)$ とすると、そこでの接線が原点を通る条件は

$$t^3-3t^2=(3t^2-6t)t⟺2t^3-3t^2=0⟺t=0,\frac{3}{2}$$

• $t=0$:傾き $m=0$($x$ 軸。原点で接する)
• $t=\frac{3}{2}$:傾き $m=3\cdot \frac{9}{4}-6\cdot \frac{3}{2}=-\frac{9}{4}$

直線を傾き $-\infty$ 側から回していくと、交点は1個 →($m=-\frac{9}{4}$ で接して)→ 3個 →($m=0$ で原点に接して2個)→ 3個、と遷移する。3個になるのは $m>-\frac{9}{4}$ かつ $m\ne 0$。

判別式(本解)は答えを一直線に出す。回転の視点は、$-\frac{9}{4}$ と $0$ という2つの境目がどちらも接線の傾きだという意味を教えてくれる。