数学II / 微分の考え

接線と座標軸で囲む三角形

★★ 標準接線面積

問題

曲線 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 上の点 $(3, 2)$ における接線が、 $x$ 軸と $y$ 軸で囲む三角形の面積を求めよ。

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まず接線の式を求める。次にその直線の $x$ 切片と $y$ 切片を出せば、直角三角形の底辺と高さになる。切片の符号と面積(正の量)の扱いに注意。

解答・解説

まず接線の方程式を求める。その直線と $x$ 軸・ $y$ 軸との交点(切片)を出し、直角三角形の面積 $\frac{1}{2} \times (底辺) \times (高さ)$ を計算する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 問われているのは三角形の面積だが、その三角形は「接線と $2$ つの軸」で囲まれる。だから道順は決まっている。

接線を求める → $x$ 軸・ $y$ 軸との交点(切片)を出す → 直角三角形の面積。

接線までは基本の計算。あとは「切片を読む」だけの作業に落ちる。手順の連結を見通してから動くと迷わない。

公式接線

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

、直角三角形の面積

= \frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ

① 接線を求める。 $f^{'} (x) = 2 x - 4$ なので $f^{'} (3) = 2$ 。点 $(3, 2)$ を通り傾き $2$ 。

$y = 2 (x - 3) + 2 = 2 x - 4$

② 座標軸との交点を求める。

$x 軸 (y = 0) : 0 = 2 x - 4 \Rightarrow x = 2 よって (2, 0)$

$y 軸 (x = 0) : y = - 4 よって (0, - 4)$

③ 三角形の面積を出す。 原点・ $(2, 0)$ ・ $(0, - 4)$ を頂点とする直角三角形。底辺 $2$ 、高さ $4$ (長さなので絶対値)。

$面積 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

接線 y=2x−4 が x軸・y軸と作る三角形(面積4)

まとめ:「接線が軸と作る三角形」は、接線を求めてから $x$ 切片・ $y$ 切片を出す。切片は座標なので負にもなるが、辺の長さはその絶対値を使う。

発展 — 一歩先へ。 接点を $(t, f (t))$ と文字にして同じ計算をすると、三角形の面積は $t$ の関数 $S (t)$ になる。「面積が最小になる接点はどこか」— 今回の問題は、その最適化問題の1回分の計算に相当する。

「曲線上の点での接線が軸と作る三角形」は、双曲線 $y = \frac{1}{x}$ だと面積が接点によらず一定(常に $2$ )という美しい事実もある。接線と切片の計算は、こうした発見の入り口になる。

答

$4$

切片を同時に読みたいなら、直線の「切片形」に直すのが手早い。

接線 $y = 2 x - 4$ の両辺を $4$ で割って整理すると

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 4} = 1$

分母がそのまま切片だ。 $x$ 切片 $2$ 、 $y$ 切片 $- 4$ が一目で読める。

三角形は「底辺 $2$ 、高さ $4$ 」の直角三角形(切片の符号は向きの情報で、長さは絶対値)だから

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ の形は「切片の値を式の見た目に埋め込んだ」直線の表し方。軸と交わる問題ではこの形に直すと、交点計算が省略できる。