数学II / 微分の考え

3次方程式の解の個数(パラメータ)

★★★ 応用解の個数極値

問題

方程式 $x^{3} - 3 x^{2} + k = 0$ が異なる $3$ 個の実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

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定数 $k$ を分離して、曲線と横線の交点数の問題に変える。 $3$ 個の交点になるのは横線が曲線のどこを通るときか — 山と谷の高さを求めて、範囲で答える。

解答・解説

$k$ を右辺に移し、 $x^{3} - 3 x^{2} = - k$ とする。 $y = x^{3} - 3 x^{2}$ と横線 $y = - k$ の交点が $3$ 個になる条件を、曲線の極大値・極小値から求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^{3} - 3 x^{2} + k = 0$ の異なる $3$ 実解を、そのまま探すのは難しい。

そこで定数 $k$ を分離する。 $x^{3} - 3 x^{2} = - k$ と移項すると、左辺は $k$ を含まない決まった曲線になる。

すると問題は「曲線 $y = x^{3} - 3 x^{2}$ と横線 $y = - k$ が $3$ 点で交わる条件」に変わる。

交点が $3$ 個になるのは、横線が曲線の谷(極小)と山(極大)のあいだを通るとき。あとは極値を計算して不等式にする。

重要解の個数 =

y = x^{3} - 3 x^{2}

と横線

y = - k

の交点の個数。

3

個 ⟺ 横線が極小と極大のあいだ

① 定数を分離する。

$x^{3} - 3 x^{2} = - k$

② 曲線の極大・極小を求める。 $g (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 、 $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ 。

③ 横線が $3$ 回ぶつかる条件を書く。 横線 $y = - k$ が極小 $- 4$ と極大 $0$ のあいだにあればよい。

$- 4 < - k < 0$

各辺を $- 1$ 倍して不等号を逆にする。

$0 < k < 4$

y=x^3-3x^2。横線 y=-k が極小-4と極大0のあいだで交点3個

まとめ:「 $3$ 実解」は定数分離して横線との交点 $3$ 個に言いかえる。 $- 4 < - k < 0$ を解くとき、 $- 1$ 倍で不等号が逆になる点に注意。答えは $0 < k < 4$ 。

発展 — 一歩先へ。 $3$ 次方程式の実数解の個数は、じつは「極大値と極小値の積の符号」で決まる。積が負なら異なる $3$ 実解、 $0$ なら重解、正なら実解は $1$ つだ。

この判定は判別式と結びつく。 $x = u + 1$ とおいて $2$ 次の項を消すと $u^{3} - 3 u = 2 - k$ となり、標準形 $u^{3} + p u + q$ の判別式 $- 4 p^{3} - 27 q^{2}$ が正であることが $3$ 実解の条件になる。

$p = - 3, q = k - 2$ を入れると $108 - 27 (k - 2)^{2} > 0$ 、すなわち $(k - 2)^{2} < 4$ 。ここからも $0 < k < 4$ が出る。定数分離のグラフと判別式の代数は、同じ答えを別の顔で語っている。

答

$0 < k < 4$

別解 — $2$ 次の項を消して標準形にする(得意な人向けの視点)。 $x^{3} - 3 x^{2}$ の $x^{2}$ の項が、山と谷の高さの計算を少し面倒にしている。この項を消してみる。

$x = u + 1$ とおいて代入する。

$x^{3} - 3 x^{2} + k = (u + 1)^{3} - 3 (u + 1)^{2} + k = u^{3} - 3 u + (k - 2) .$

方程式は $u^{3} - 3 u = 2 - k$ となった。左辺 $u^{3} - 3 u$ は決まった関数で、微分 $3 u^{2} - 3$ から $u = - 1$ で極大値 $2$ 、 $u = 1$ で極小値 $- 2$ をとる。

異なる $3$ 実解をもつのは、横線 $y = 2 - k$ がこの極小 $- 2$ と極大 $2$ のあいだにあるとき。

$- 2 < 2 - k < 2 ⟹ 0 < k < 4.$

平行移動で山と谷の高さが $\pm 2$ という覚えやすい値になった。定数分離して $y = x^{3} - 3 x^{2}$ の極値を直接求める本解と同じ $0 < k < 4$ に至る。