接線の本数の完全な場合分け

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「点から曲線に引ける接線の本数」。接線は接点で決まるので、接点を文字でおくのが第一歩。

接点を $(t,t^3-3t)$ とおき、そこでの接線を作る。この接線が点 $\mathrm{A}(2,a)$ を通る条件を、$t$ の方程式にする。

$3$ 次曲線では、接点が違えば接線も必ず違う。だから接線の本数は、この $t$ の方程式の異なる実数解の個数に等しい。

あとは $a$ を分離して、グラフと横線 $y=a$ の交点の数を数える。

① 接点をおいて接線を作る。 接点を $(t,t^3-3t)$ とする。$y^{\prime }=3x^2-3$ だから、接線は

$$y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$$

② $\mathrm{A}(2,a)$ を通る条件を $t$ の方程式にする。 $x=2$、$y=a$ を代入して整理する。

$$a=-2t^3+6t^2-6$$

この方程式の異なる実数解 $t$ の個数が、そのまま接線の本数になる。なぜ「そのまま」かというと、3次曲線では $1$ 本の直線が $2$ か所で接することはできない(接点 $2$ つなら方程式が $4$ 次以上必要になる)からだ。

③ 定数 $a$ を分離してグラフで数える。 $g(t)=-2t^3+6t^2-6$ とおく。$g^{\prime }(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2)$ より、$g$ は $t=0$ で極小値 $g(0)=-6$、$t=2$ で極大値 $g(2)=2$ をとる。

横線 $y=a$ との交点を数えると、

• $a<-6$ のとき $1$ 個 → 接線 $1$ 本
• $a=-6$ のとき $2$ 個 → 接線 $2$ 本
• $-6<a<2$ のとき $3$ 個 → 接線 $3$ 本
• $a=2$ のとき $2$ 個 → 接線 $2$ 本
• $2<a$ のとき $1$ 個 → 接線 $1$ 本

まとめ:「点から引ける接線の本数」は、接点の方程式の実数解の個数に翻訳するのが定番の流れ。境目の $a=-6,2$ は横線が山・谷にちょうど触れる瞬間で、このとき接線の $2$ 本が $1$ 本に重なる。

発展 — 一歩先へ。 $3$ 次曲線の外の点から引ける接線は、平面をどの領域で見るかで $1$ 本か $3$ 本に変わる。境界は曲線自身と変曲点の接線。一般に「点から曲線に引ける接線の本数」は、接点パラメータの方程式の実数解の個数で、$3$ 次では最大 $3$ 本。この“本数の地図”は、曲線の双対(接線を点とみる双対曲線)の考えにつながる。

別解

別解 — 境界 $a=2,-6$ の図形的な意味を読む(得意な人向けの視点)。 本数が変わる境界 $a=2$ と $a=-6$ には、はっきりした図形の意味がある。

$a=2$ のとき $\mathrm{A}=(2,2)$。じつはこれは曲線 $C$ 上の点だ($f(2)=2^3-3\cdot 2=2$)。曲線上の点からは、その点自身での接線が必ず $1$ 本引け、加えて反対側から $1$ 本引けるので、ちょうど $2$ 本。

$a=-6$ のとき $\mathrm{A}=(2,-6)$。これは変曲点 $(0,0)$ での接線 $y=-3x$ 上の点($-3\cdot 2=-6$)。変曲点の接線がからむと接点が重なり、やはり $2$ 本になる。

この $2$ 本の“境目”を境に、外側では $1$ 本、内側($-6<a<2$)では $3$ 本。$a$ を分離して $g(t)=-2t^3+6t^2-6$ と横線 $y=a$ の交点を数える本解と同じ結論。境界値が「曲線上」「変曲点の接線上」という位置と対応しているのが、$3$ 次曲線の接線の面白いところだ。