接線の再交点と傾きの比(論証)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接線が曲線と「再び交わる」点を追う問題。点 $\mathrm{P}$ を文字でおくのが出発点。

$\mathrm{P}(t,t^3)$($t\ne 0$)とおいて接線を作り、曲線 $y=x^3$ との交点方程式を立てる。

$\mathrm{P}$ は接点だから、この方程式で $x=t$ は重解になる。重解を因数にくくり出せば、残りの解=$\mathrm{Q}$ の $x$ 座標が $t$ で表せる。

あとは $y^{\prime }=3x^2$ に $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ の $x$ を入れて、傾きを比べるだけ。

① 接線を作る。 $\mathrm{P}(t,t^3)$($t\ne 0$)とおく。$y^{\prime }=3x^2$ より接線は

$$y=3t^2(x-t)+t^3=3t^{2}x-2t^3$$

② 再交点 $\mathrm{Q}$ を求める。 曲線との交点は $x^3=3t^{2}x-2t^3$、すなわち

$$x^3-3t^{2}x+2t^3=0$$

$x=t$ で接している(重解)ことが分かっているから、$(x-t{)}^2$ でくくれるはずだ。実際に割ると

$$(x-t{)}^2(x+2t)=0$$

よって再交点は $x=-2t$、すなわち $\mathrm{Q}(-2t,-8t^3)$。$t\ne 0$ だから $\mathrm{Q}\ne \mathrm{P}$ で、確かに「再び交わる」。

③ 傾きを比べる。 $\mathrm{P}$ での傾きは $3t^2$。$\mathrm{Q}$ での傾きは

$$3(-2t{)}^2=12t^2=4\times 3t^2$$

$t\ne 0$ より $3t^2\ne 0$ だから、比はつねに $4$ 倍である。(証明終)

まとめ:接線と曲線の交点方程式では「接点=重解」が最大の武器で、因数分解が機械的に進む。再交点が $-2t$ になるのは、$3$ 解の和が $0$($x^2$ の項がない)ことからも $t+t+(-2t)=0$ と即座に読める — 解と係数の関係で検算できる。

発展 — 一歩先へ。 $y=x^3$ の接線が曲線と再び交わる点は、いつも接点の $-2$ 倍の位置。これは $3$ 次曲線上の点の「足し算」(楕円曲線の群構造)の原型で、$1$ 点の接線が曲線と交わる第 $3$ 点をとる操作が「$2$ 倍」に対応する。暗号にも使われる楕円曲線の加法の、最も簡単な姿がここにある。

別解

別解 — 解と係数の関係で $\mathrm{Q}$ を一発で出す(得意な人向けの視点)。 接線と曲線の交点方程式は $x^3-3t^{2}x+2t^3=0$。この $3$ 次方程式の解が、$2$ つの交点の $x$ 座標だ。

$\mathrm{P}$ は接点なので $x=t$ が重解。つまり解は $t,t$ と、もう $1$ つ $q$。

ここで解と係数の関係を使う。$x^3-3t^{2}x+2t^3=0$ には $x^2$ の項がない(係数 $0$)から、$3$ 解の和は $0$。

$$t+t+q=0⟹q=-2t.$$

因数分解せずに $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $-2t$ が出た。$y^{\prime }=3x^2$ に入れると傾きは $3(-2t{)}^2=12t^2=4\cdot 3t^2$ で $4$ 倍。$(x-t{)}^2(x+2t)$ と因数分解する本解と同じ $\mathrm{Q}(-2t,-8t^3)$。「$x^2$ の項がない $\Rightarrow$ 解の和 $0$」を使うと、割り算いらずで第 $3$ の解が求まる。