平均変化率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均変化率とは、「$y$ がどれだけ変わったか」を「$x$ がどれだけ変わったか」で割ったもの。

$$(\text{平均変化率})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{(y\text{の変化})}{(x\text{の変化})}$$

これは、$2$ 点を結ぶ直線の傾きそのものである。

計算する。

$$f(1)=1,f(3)=9$$

$$\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$$

「$x$ が $1$ から $3$ へ $2$ 増えるあいだに、$y$ は $1$ から $9$ へ $8$ 増えた。$1$ あたり $4$ の増加」 — これが平均変化率の意味だ。

中学で習った「変化の割合」と、まったく同じものである。名前が変わっただけ。

$y$ の増加量を $x$ の増加量で割る。

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$$

平均変化率は $4$。これはグラフ上の $2$ 点 $(1,1)$、$(3,9)$ を結ぶ直線の傾きと同じ。

発展 — 一歩先へ。 「平均」と「瞬間」の関係には、美しい定理がある。平均値の定理だ。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)(\text{a と b のあいだに、そんな c が必ず存在する})$$

「平均の傾きと同じ傾きを持つ点が、区間内に必ずある。」

今回の例で確かめる。 平均変化率は $4$、$f^{\prime }(x)=2x$ だから

$$2c=4⟹c=2$$

$c=2$ は、確かに $1$ と $3$ のあいだにある ✓

この定理を、車で読むとこうなる。

「$2$ 時間で $100$ km 走った(平均時速 $50$ km)なら、途中のどこかで、ちょうど時速 $50$ km だった瞬間が必ずある。」

当たり前に思えるが、証明が必要な事実である。(常に時速 $50$ km 未満なら $100$ km 走れないし、常に $50$ km 超なら $100$ km を超えてしまう — だから途中で $50$ km ちょうどを"通過"するはずだ。)

そして、この定理には実用的な応用がある。

高速道路の「平均速度違反」の取り締まり。 入口と出口の通過時刻から平均速度を計算し、制限速度を超えていれば「どこかで必ず速度超過していた」と断定できる — 平均値の定理が、法的な根拠になっている(実際にイタリアなどで導入されている)。

「平均から、瞬間を保証する」 — 微分法の最も基本的な定理が、道路の上で働いている。

別解

平均変化率が「割線の傾き」であることを、絵で確認しよう。 そして、これが微分の出発点であることを見る。

グラフで見る。

放物線 $y=x^2$ の上に、$2$ 点をとる。

$$\mathrm{A}(1,1),\mathrm{B}(3,9)$$

この $2$ 点を、まっすぐな線で結ぶ。 この直線を割線(せっせん、曲線を"割る"線)という。

割線の傾きは?

$$\frac{9-1}{3-1}=4$$

平均変化率と、同じ値 ✓

$$\boxed{\text{平均変化率}=\text{割線の傾き}}$$

「平均」という名前の意味。

放物線は、$x=1$ の付近ではゆるやかで、$x=3$ の付近では急だ(グラフを見れば分かる)。傾きは、場所によって違う。

しかし「$1$ から $3$ まで、ならして見れば、$1$ あたり $4$ 増えた」 — これが平均変化率である。

車で考えると分かりやすい。

「$2$ 時間で $100$ km 走った」→ 平均時速 $50$ km。

しかし、ずっと時速 $50$ km で走っていたわけではない。 信号で止まったり、高速で $100$ km 出したりしている。「ならせば $50$ km/h」 — それが平均速度だ。

では、「今この瞬間の速度」は、どうやって測るのか。

これが、次の問題(微分係数)の主題である。

発想: 区間をどんどん狭くする。

区間を狭めていくと、平均変化率は $2$ に近づく。

この極限が「$x=1$ における瞬間の変化率」 — つまり微分係数 $f^{\prime }(1)=2$ である。

そして、割線はどうなるか。 $\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}$ に近づけていくと、割線は"接線"に近づいていく。

$$\boxed{\text{割線の傾き}\stackrel{\text{2 点を近づける}}{\to }\text{接線の傾き}}$$

「平均」から「瞬間」へ。「割線」から「接線」へ。 この $1$ 歩が、微分という数学を生んだ。

ちなみに $y=x^2$ の場合、区間 $[a,b]$ の平均変化率には、きれいな公式がある。

$$\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b+a)(b-a)}{b-a}=a+b$$

$2$ 点の $x$ 座標を、ただ足すだけ! $1+3=4$ ✓ 一瞬で出る。

そして $b\to a$ とすれば $a+a=2a$ — $f^{\prime }(x)=2x$ という導関数が、この式から見えてくる。