数学II / 微分の考え

3次不等式の証明(因数分解)

実戦編微分不等式因数分解重解単元横断

問題

$x \geq - 2$ のとき、不等式 $x^{3} \geq 3 x - 2$ が成り立つことを示せ。また等号が成り立つ $x$ を求めよ。

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$g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ を因数分解。 $x = 1$ を代入すると $0$ (しかも重解)。 $g (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 。 $x \geq - 2$ で符号は?

解答・解説

方針

差 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ を因数分解する。 $x = 1$ が重解であることを見抜くと $(x - 1)^{2} (x + 2)$ になり、 $x \geq - 2$ で各因数の符号から非負が言える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式の証明は、差 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ を作って符号を調べるのが出発点。

3次式の符号は因数分解が最短だ。 $g (1) = 0$ に気づけば $(x - 1)$ で割れる。商をさらに見ると、また $x = 1$ で消える — $x = 1$ は重解で、 $g (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 。

平方 $(x - 1)^{2}$ は常に $0$ 以上。残る $x + 2$ の符号が、条件 $x \geq - 2$ でちょうど非負になる。条件の出どころまで因数分解が教えてくれる。

重要

x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)

(重解

x = 1

と解

x = - 2

)

① 差を因数分解。 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ 。 $g (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ 、 $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ で $g^{'} (1) = 0$ より $x = 1$ は重解。組立除法などで $g (x) = (x - 1)^{2} (x + 2) .$ ② 符号。 $x \geq - 2$ のとき $(x - 1)^{2} \geq 0$ 、 $x + 2 \geq 0$ だから $g (x) = (x - 1)^{2} (x + 2) \geq 0,$ すなわち $x^{3} \geq 3 x - 2$ 。

③ 等号。 $g (x) = 0 ⟺ (x - 1)^{2} = 0$ または $x + 2 = 0$ 、すなわち $x = 1$ または $x = - 2$ 。

x³−(3x−2)=(x−1)²(x+2)≥0(x≥−2)。y=x³ は y=3x−2 の上(x=1 で接する)

まとめ 差 $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ が $x \geq - 2$ で $\geq 0$ 、等号は $x = 1, - 2$ 。不等式(差の符号)と因数分解(重解)の融合。

発展 — 一歩先へ。 一般に $y = x^{3}$ の $x = t$ での接線と曲線の差は $(x - t)^{2} (x + 2 t)$ と因数分解される。接線は必ず $x = - 2 t$ で曲線を再び横切り、その点での曲線の傾きは接点での傾きのちょうど4倍( $12 t^{2} = 4 \cdot 3 t^{2}$ )になる。「重解2つ+残り1つ」という3次の解の配置が、接線の幾何を全部決めている。

答

$g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ とすると $g (x) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 。 $x \geq - 2$ では $(x - 1)^{2} \geq 0$ かつ $x + 2 \geq 0$ より $g (x) \geq 0$ 。等号は $(x - 1)^{2} = 0$ または $x + 2 = 0$ 、すなわち $x = 1$ または $x = - 2$ 。

別解

別解 — $y = 3 x - 2$ の正体は接線(得意な人向けの種明かし)。 右辺の直線 $y = 3 x - 2$ を、曲線 $y = x^{3}$ と見比べる。 $x = 1$ で値は $1$ と $1$ 、傾きは $3 x^{2} = 3$ と $3$ — 完全に一致。

つまり $y = 3 x - 2$ は、 $y = x^{3}$ の $x = 1$ における接線である。

すると差 $x^{3} - (3 x - 2)$ が $(x - 1)^{2} (x + 2)$ と因数分解される理由も見える。接する点は重解 $(x - 1)^{2}$ を、接線が曲線を再び横切る点 $x = - 2$ が因数 $(x + 2)$ を担う。

不等式 $x^{3} \geq 3 x - 2$ ( $x \geq - 2$ )の主張は、「3次曲線は、再交点から先では接線の上側にいる」という絵そのものだった。増減表で示すこともできるが、この種明かしを知ると忘れない。

ポイント

差 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ 。
$x \geq - 2$ で $(x - 1)^{2} \geq 0, x + 2 \geq 0$ より $g \geq 0$ 。
等号は $x = 1, - 2$ 。

よくある間違い

$g (1) = 0$ を見つけた後、商の2次式でもう一度 $x = 1$ が根になること(重解)を見逃し、 $(x - 1) (x^{2} + x - 2)$ で止まる。
条件 $x \geq - 2$ を使わずに「常に成立」と主張する( $x = - 3$ で $g = - 16 < 0$ 、条件は本質的)。
等号成立を $x = 1$ だけと答える( $x = - 2$ でも $g = 0$ 。因数 $(x + 2)$ の零点を忘れない)。