極値をもつ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「極値をもつ」とは、グラフに山と谷があること。$3$ 次関数で山と谷ができるのは、傾き $f^{\prime }(x)$ の符号が「$+\to -\to +$」と $2$ 回入れ替わるときだ。

$f^{\prime }$ は $2$ 次式。符号が $2$ 回入れ替わるのは、$f^{\prime }(x)=0$ が異なる $2$ つの実数解をもつとき。

こうして「極値をもつ」という図の言葉が、「$2$ 次方程式の判別式 $>0$」という式の言葉に翻訳される。あとは判別式の計算だけだ。

① なぜ導関数の実数解の個数で極値の有無が決まるのかを、まず押さえる。 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$ は下に凸の放物線。もし $f^{\prime }=0$ が異なる2つの解をもつと、その2解の前後で $f^{\prime }$ の符号が 正 → 負 → 正 と入れかわる。$f^{\prime }$ が正のとき $f$ は増加、負のとき減少だから、$f$ は「増加 → 減少 → 増加」となり、山と谷(極大と極小)ができる＝極値をもつ。逆に $f^{\prime }=0$ が解を持たない/重解のとき($D\le 0$)、$f^{\prime }$ は符号を変えず $f$ はずっと増加で、山も谷もできない。だから「極値をもつ ⟺ $f^{\prime }=0$ が異なる2実解 ⟺ $D>0$」。

② 判別式 $>0$ を解く。

$$\frac{D}{4}=a^2-3\times 3=a^2-9>0\Rightarrow (a-3)(a+3)>0$$

$$a<-3\text{または}3<a$$

まとめ:$3$ 次関数の「極値をもつ・もたない」は、導関数($2$ 次式)$=0$ の実数解の個数の問題。2つの実解があると $f^{\prime }$ の符号が $+\to -\to +$ と変わって山と谷ができる——この符号変化のイメージが「$D>0$」の中身だ。

発展 — 一歩先へ。 境界 $a=3$ の $f(x)=x^3+3x^2+3x$ は、よく見ると $(x+1{)}^3-1$。つまり $y=x^3$ を平行移動しただけの、階段の踊り場のような単調増加だ。「重解=平らになるが下らない」の実例として覚えておくと、等号の扱いに迷わなくなる。

一般に $3$ 次関数は「極値をもつ(山谷型)」か「単調(常に増または減)」の $2$ 種類しかない。$f^{\prime }$ の判別式が、その分類スイッチになっている。

別解

判別式を公式として使う代わりに、$f^{\prime }$ の放物線の「頂点の高さ」で見ると意味がはっきりする。

$$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3=3{\left(x+\frac{a}{3}\right)}^2+3-\frac{a^2}{3}$$

$f^{\prime }$ は下に凸の放物線。これが $x$ 軸を $2$ 回横切る(=負になる瞬間がある)条件は、頂点が $x$ 軸より下にあること。

$$3-\frac{a^2}{3}<0⟺a^2>9⟺a<-3,3<a$$

判別式と同じ答えだが、「$f^{\prime }$ が負になる区間(グラフが下る区間)が存在するか」という極値の実態が、頂点の高さとして目に見える。境界 $a=3$ では $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2\geqq 0$ — 一瞬だけ傾き $0$ になるが下りはせず、極値なし。等号を含めない理由もここから読める。