4次関数の最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 4次関数の最小値。微分すると $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$ ときれいに因数分解できる。

極値の候補は $x=0,\pm 2$ の3つ。W字型のグラフで、両側の谷 $x=\pm 2$ が最小の候補、真ん中 $x=0$ は極大だ。

$f$ は偶関数だから $f(2)=f(-2)$。谷の値を1つ計算すれば最小値が決まる。

① 極値をとる $x$。 $f^{\prime }(x)=4x(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,\pm 2$。

② 各極値。 $$f(0)=3(\text{極大}),f(\pm 2)=2^4-8\cdot 2^2+3=16-32+3=-13(\text{極小}).$$ ③ 最小。 $x\to \pm \infty$ で $f\to +\infty$、$W$ 字型だから最小は極小値 $$f(\pm 2)=-13.$$

まとめ $f^{\prime }=4x(x-2)(x+2)$、極小 $f(\pm 2)=-13$、極大 $f(0)=3$。$W$ 字の谷が最小 $-13$。微分(最大最小)と偶関数の対称性の融合。

発展 — 一歩先へ。 $x^2$ のかたまりしか含まない4次(複2次)は、いつでも $u=x^2$ で2次に落ちる。頂点の $u$ が負になる式(たとえば $x^4+8x^2$)では、$u\ge 0$ の端 $u=0$ が最小になり、「頂点か端か」という閉区間の2次関数と同じ議論が現れる。微分と置換、2つの道を持っておくと検算し合える。

別解

別解 — $u=x^2$ で2次関数に落とす(苦手な人向け)。 $f(x)=x^4-8x^2+3$ は $x^2$ のかたまりしか含まない。$u=x^2$ とおくと

$$f=u^2-8u+3=(u-4{)}^2-13(u\ge 0).$$

平方完成した2次関数の最小は頂点 $u=4$ で $-13$。$u=4$ は範囲 $u\ge 0$ に入っており、$x^2=4$、すなわち $x=\pm 2$ で実現する。

微分を使わず、2次関数の知識だけで最小値 $-13$ に着いた。注意点はただ1つ、置換後の範囲 $u\ge 0$。もし頂点が $u<0$ に出る式なら、最小は端 $u=0$ に移る — 置換したら範囲、が合言葉だ。