数学II / 微分の考え

3次方程式の解の個数と3解の平方和

実戦編微分3次方程式解と係数極値単元横断

問題

$x^{3} - 3 x = k$ が異なる $3$ つの実数解をもつような定数 $k$ の範囲を求めよ。また、そのとき $3$ 解 $α, β, γ$ の平方和 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ は $k$ によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

ヒントを見る

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の極大・極小の値を出し、 $y = k$ と $3$ 交点の条件に。 $3$ 解の平方和は解と係数( $\sum α, \sum α β$ )で。 $k$ は $x^{0}$ の項なので $\sum α, \sum α β$ に影響しない。

解答・解説

方針

$y = x^{3} - 3 x$ のグラフと横線 $y = k$ の交点数を、極大・極小の値で調べる。 $3$ 解は $x^{3} - 3 x - k = 0$ の解なので、解と係数の関係から平方和を対称式で計算する( $k$ を含む項は現れない)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解の個数」は方程式のままでは見えない。定数 $k$ を分離して、曲線 $y = x^{3} - 3 x$ と横線 $y = k$ の交点数に翻訳する。

曲線の形は微分で分かる。極大 $f (- 1) = 2$ 、極小 $f (1) = - 2$ 。横線が2つの山谷の間にあるとき、ちょうど3回交わる。

後半の平方和は、解を求めずに解と係数の関係で出す。 $3$ 解は $x^{3} - 3 x - k = 0$ の解 — $k$ は定数項にしか現れない、という係数の配置が「 $k$ によらない」の種である。

重要

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

。極大

f (- 1) = 2

、極小

f (1) = - 2

① 解の個数。 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 、 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - 1)$ 。 $x = - 1$ で極大 $f (- 1) = 2$ 、 $x = 1$ で極小 $f (1) = - 2$ 。横線 $y = k$ と $3$ 交点をもつのは $- 2 < k < 2.$

y=x³−3x と横線 y=k。極大(−1,2)・極小(1,−2)の間、−2<k<2 で3交点(3実解)。

② 平方和。 $3$ 解 $α, β, γ$ は $x^{3} - 3 x - k = 0$ の解。解と係数の関係より $α + β + γ = 0, α β + β γ + γ α = - 3 (x^{1} の係数) .$ ( $k$ は定数項なので、これらには現れない。)よって $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α) = 0 - 2 (- 3) = 6.$ $k$ に依存せず一定で、値は $6$ 。

まとめ グラフと横線で $- 2 < k < 2$ 、解と係数で平方和 $= 6$ ( $k$ によらない)。微分(定数分離)と解と係数(対称式)の融合。 $k$ が定数項なので対称式に効かないのが要。

発展 — 一歩先へ。 一般の $x^{3} + p x = k$ でも、3解の平方和は $- 2 p$ で $k$ に依らない。横線 $y = k$ を上下させると3つの解は動くのに、平方和(原点からの散らばり)は不変 — グラフの形( $p$ )だけが決める量である。解の対称式のうち「どれが $k$ に依るか」は、係数のどの位置に $k$ がいるかで即座に読める。

答

$f (x) = x^{3} - 3 x$ は極大 $f (- 1) = 2$ 、極小 $f (1) = - 2$ 。横線 $y = k$ と $3$ 交点をもつ条件は $- 2 < k < 2$ 。 $3$ 解は $x^{3} - 3 x - k = 0$ の解で、解と係数より $α + β + γ = 0, α β + β γ + γ α = - 3$ 。 $\sum α^{2} = (\sum α)^{2} - 2 \sum α β = 0 - 2 (- 3) = 6$ ( $k$ によらず一定)。

別解

別解 — 「極値の積が負」で条件を書く(得意な人向けの高い視点)。 横線との交点数を絵で数える代わりに、 $g (x) = x^{3} - 3 x - k$ の符号で言い切る。

3次関数が異なる3つの実数解をもつ $⟺$ 極大値と極小値が異符号、すなわち

$g (- 1) \cdot g (1) = (2 - k) (- 2 - k) < 0.$

展開すると $k^{2} - 4 < 0$ 、つまり $- 2 < k < 2$ 。境界(積 $= 0$ )は重解をもつ場合で、解は2個に減る。

「極大 $> 0 >$ 極小」という2本の不等式が、「積 $< 0$ 」の1本にまとまる。文字が増えた問題(係数に文字が2つあるときなど)ほど、この書き方の威力が出る。

ポイント

定数分離 $y = x^{3} - 3 x$ と $y = k$ 、 $3$ 交点は $- 2 < k < 2$ 。
$3$ 解の $\sum α = 0, \sum α β = - 3$ ( $k$ は定数項)。
平方和 $= 0 - 2 (- 3) = 6$ ( $k$ によらず一定)。

よくある間違い

3交点の条件を「極小 $< k <$ 極大」でなく閉区間(等号込み)にしてしまう(等号は重解で2個に減る)。
$\sum α^{2} = (\sum α)^{2} - 2 \sum α β$ の $- 2$ 倍の符号を誤る。
「 $k$ によらない」の理由を言わない( $k$ は定数項だけにいて、 $\sum α$ と $\sum α β$ に現れない — ここまでが答案)。