最大の体積(文章題)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題の勝負どころは、微分の前にある。「容積を $1$ つの文字の式で表す」ことだ。

切り取る正方形の辺 $x$ を決めると、箱の形は全部決まる。底面は $1$ 辺 $12-2x$ の正方形(両側から $x$ ずつ消える)、高さは折り上げた $x$。

$$V=x(12-2x{)}^2$$

もうひとつ忘れやすいのが変域。底面の辺も高さも正でなければ箱にならないから $0<x<6$。この範囲の中で $V$ の最大を微分で探す。

① 容積を $x$ で表す。 底面は $1$ 辺 $(12-2x)$、高さ $x$。

$$V=x(12-2x{)}^2(0<x<6)$$

② 展開して微分する。 $(12-2x{)}^2=144-48x+4x^2$ なので $V=4x^3-48x^2+144x$。

$$V^{\prime }=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$$

③ 変域内で増減を調べる。 $0<x<6$ では、$x=2$ の前後で $V^{\prime }$ は 正→負。よって $x=2$ で最大。

$$V(2)=2\times (12-4{)}^2=2\times 64=128$$

$$x=2(\mathrm{cm})\text{ のとき最大容積 }128({\mathrm{cm}}^3)$$

まとめ:文章題は「量を文字で表す → 変域を書く → 微分して増減」。変域 $0<x<6$ を最初に決めるのが大事。$x=6$ は底面がつぶれるので入れない。

発展 — 一歩先へ。 $V^{\prime }=0$ の解は $x=2$ と $x=6$ の $2$ つ出るが、$x=6$ は「切り取ったら何も残らない」箱で、変域の外。式の上の解が現実の解とは限らない — 文章題で変域を最初に書く理由がここにある。

最大のとき、底面 $8\times 8$・高さ $2$。別解の等号条件 $2x=6-x$ は「高さの $2$ 倍 = 底面の半分」という形の釣り合いを言っている。容器の最適設計(缶の表面積最小など)でも、答えはこうした比の釣り合いで表れる — 最適化の答えには、いつも幾何的な釣り合いが隠れている。

別解

微分を使わず、相加相乗平均で最大値を射抜く別ルートがある。

$V=x(12-2x{)}^2=4x(6-x{)}^2$。ここで $3$ つの数 $2x,6-x,6-x$ を見ると、和が

$$2x+(6-x)+(6-x)=12(\text{一定!})$$

和が一定の正の数たちは、全部等しいときに積が最大になる($3$ 数の相加相乗平均)。積は

$$2x(6-x{)}^2\leqq {\left(\frac{12}{3}\right)}^3=64$$

等号は $2x=6-x$、つまり $x=2$ のとき。$V=2\times 2x(6-x{)}^2$ と書き直せるから、最大は $V=2\times 64=128$。

ポイントは $4x(6-x{)}^2$ を $2\times [2x\cdot (6-x)\cdot (6-x)]$ と和が一定になるように係数を仕込んだこと。この設計ができれば、増減表なしの一撃になる。