数学II / 微分の考え

4次曲線の複接線

★★★★ 難関接線恒等式

問題

曲線 $y = x^{4} - 2 x^{2} + x$ に、異なる $2$ 点で接する直線 $ℓ$ の方程式と、 $2$ つの接点の $x$ 座標を求めよ。

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$2$ 点で接する ⟺ 差の $4$ 次式が『( $2$ 次式)の $2$ 乗』の形に書ける。恒等式の係数比較に持ち込めるか。

解答・解説

方針

直線を $y = m x + n$ とおく。 $2$ 点で接する ⟺ (曲線)−(直線) が $2$ つの重解をもつ ⟺ $x^{4} - 2 x^{2} + x - (m x + n)$ が $(x^{2} + p x + q)^{2}$ の形に書ける。展開して係数比較する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「異なる $2$ 点で接する直線」。 $1$ 点で接するなら重解 $1$ つ。 $2$ 点で接するなら重解が $2$ つだ。

直線を $y = m x + n$ とおく。曲線と直線の共有点は $x^{4} - 2 x^{2} + x - (m x + n) = 0$ の解。

$2$ 点で接する $⟺$ この $4$ 次式が $2$ つの重解をもつ $⟺$ $(x^{2} + p x + q)^{2}$ の形(完全平方)に書ける。

だから左辺を $(x^{2} + p x + q)^{2}$ とおいて展開し、係数を比べれば $m, n$ が決まる。

重要

x = α, β

の

2

点で接する ⟺ (曲線)−(直線)

= (x - α)^{2} (x - β)^{2}

① 「2点で接する」を式の形に翻訳する。 直線を $y = m x + n$ とおく。曲線と直線の差

$x^{4} - 2 x^{2} + x - m x - n$

が $x = α$ と $x = β$ の両方で重解をもてばよい。 $4$ 次式で重解が $2$ つだから、差はちょうど $(x - α)^{2} (x - β)^{2}$ 、すなわち $(x^{2} + p x + q)^{2}$ の形になる。

② 係数比較する。 $(x^{2} + p x + q)^{2} = x^{4} + 2 p x^{3} + (p^{2} + 2 q) x^{2} + 2 pq x + q^{2}$ 。これと $x^{4} + 0 \cdot x^{3} - 2 x^{2} + (1 - m) x - n$ を比べる。

$x^{3}$ : $2 p = 0$ より $p = 0$
$x^{2}$ : $p^{2} + 2 q = - 2$ より $q = - 1$
$x^{1}$ : $2 pq = 1 - m$ より $0 = 1 - m$ 、 $m = 1$
定数: $q^{2} = - n$ より $n = - 1$

よって $ℓ : y = x - 1$ 。

③ 接点を求める。 差は $(x^{2} - 1)^{2} = (x - 1)^{2} (x + 1)^{2}$ となるから、接点の $x$ 座標は $x = \pm 1$ 。実際、 $(1, 0)$ と $(- 1, - 2)$ はどちらも直線 $y = x - 1$ の上にある。

y=x⁴−2x²+x と複接線 y=x−1。x=−1 と x=1 の2か所で同時に接する

まとめ: $4$ 次曲線と直線が $2$ 点で接する条件は、「差が完全平方式」という恒等式の問題に翻訳できる。微分を使って $2$ か所の接線一致を追いかけるより、この翻訳のほうが計算が軽い。

発展 — 一歩先へ。 $4$ 次曲線に $2$ 点で接する直線(複接線)は、 $W$ 字型のグラフの $2$ つの谷に渡した“橋”。曲線から引くとどこでも下側にあり、触れるのは $2$ 点だけ。 $x^{3}$ の項がない曲線では接点が原点対称に並ぶ。複接線は代数曲線論の古典的な話題で、 $4$ 次曲線には一般に $28$ 本の複接線がある(実数とは限らない)ことが知られる。

答

$ℓ : y = x - 1$ 、接点の $x$ 座標は $x = \pm 1$

別解

別解 — 接点の和が $0$ (消えた $x^{3}$ の項から)(得意な人向けの視点)。 $2$ つの接点の $x$ 座標を $p, q$ とする。曲線と接線の差は、この $2$ 点で重解だから $(x - p)^{2} (x - q)^{2}$ に等しい。

これは ${(x - p) (x - q)}^{2} = (x^{2} - (p + q) x + pq)^{2}$ と書ける。展開すると $x^{3}$ の係数は $- 2 (p + q)$ 。

一方、もとの曲線 $x^{4} - 2 x^{2} + x$ には $x^{3}$ の項がない(係数 $0$ )。直線を引いても $x^{3}$ の係数は変わらない。

だから $- 2 (p + q) = 0$ 、すなわち $p + q = 0$ 。接点は原点対称に $p, - p$ と並ぶ。

$x^{2}$ の係数から $p^{2} = 1$ … と続けると $p = \pm 1$ 。接点は $x = \pm 1$ 、そこでの直線が $y = x - 1$ 。完全平方とおいて係数比較する本解と同じだが、「 $x^{3}$ の項がない $\Rightarrow$ 接点の和 $0$ 」と一気に見抜けるのが速い。

ポイント

$2$ 点で接する ⟺ 差が $(x^{2} + p x + q)^{2}$ の形(完全平方)。
係数比較は次数の高い項から順に決めると芋づる式に決まる。

よくある間違い

「 $2$ 点で接する」を重解 $1$ つと誤解し、 $3$ 次以下の条件で扱う(重解は $2$ つ必要)。
完全平方 $(x^{2} + p x + q)^{2}$ の展開で、 $x^{3}$ の係数 $2 p$ を $0$ とおくのを忘れる。
接点の $x$ 座標 $\pm 1$ を求めて満足し、直線の式 $y = x - 1$ まで書かない。