極値をとる条件(係数決定)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$x=1$ で極値をとる」— この日本語を式に翻訳するのが第一手だ。極値の場所ではグラフの傾きが $0$。つまり $f^{\prime }(1)=0$。

これは $a$ の $1$ 次方程式で、$a$ が即座に決まる。

ただし注意がひとつ。$f^{\prime }(1)=0$ は「極値をとるための必要条件」にすぎない。$a$ を求めたら、増減表で本当に $x=1$ の前後で符号が変わるか(=本当に極値か)を確かめてから、極大・極小の値を出す。

① $f^{\prime }(1)=0$ から $a$ を求める。 $f^{\prime }(x)=3x^2-3a$。

$$f^{\prime }(1)=3-3a=0\Rightarrow a=1$$

② $f^{\prime }$ を因数分解する。 $a=1$ より

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$

③ 極大・極小を求める。 $f^{\prime }$ の符号は 正($x<-1$)→負($-1<x<1$)→正($x>1$)。

• $x=-1$:正→負 で極大。$f(-1)=-1+3+4=6$。
• $x=1$:負→正 で極小。$f(1)=1-3+4=2$。

$$a=1,\text{極大値 }6(x=-1),\text{極小値 }2(x=1)$$

まとめ:係数決定は「極値をとる ⟺ $f^{\prime }=0$」から始める。$a$ を出したら、必ず $f^{\prime }$ の符号を確かめて、本当に極値になっているか(極大か極小か)まで調べる。

発展 — 一歩先へ。 「$f^{\prime }(1)=0$ なのに極値でない」ことが実際にある。$f(x)=x^3$ は $f^{\prime }(0)=0$ だが、$x=0$ の前後で傾きは正のまま(接して通り抜けるだけ)で、極値ではない。⓪で「必要条件にすぎない」と釘を刺したのは、この反例がいるからだ。

今回の問題では $a=1$ で $f^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ と符号がきちんと変わるから合格。「求めた値を戻して検分する」一手間が、論理の穴を塞いでいる。

別解

$a=1$ が決まった後の極大・極小は、$3$ 次関数の対称性で片方から他方が出せる。

$f(x)=x^3-3x+4$ のグラフは、点 $(0,4)$(定数項が示す中心)について点対称だ。実際、どの $u$ でも

$$f(u)+f(-u)=(u^3-3u+4)+(-u^3+3u+4)=8$$

つまり $x=u$ と $x=-u$ の値の平均が常に $4$。中心の高さ $4$ を挟んで、グラフは上下対称に振る舞う。

極小が $f(1)=2$、中心より $2$ だけ下。なら極大は中心より $2$ だけ上の $4+2=6$ — 計算しなくても対称性が教えてくれる($f(-1)=6$ と一致)。

極値が「中心 ± 同じ幅」に来るのは $3$ 次関数の一般的な性質。検算にも、片方の計算を省く近道にもなる。