接線の方程式(3次曲線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は変わらない。微分して、接点での値を代入する。

$$f(x)=x^3-x⟹f^{\prime }(x)=3x^2-1$$

原点 $(0,0)$ での傾き。

$$f^{\prime }(0)=3\times 0-1=-1$$

傾きは $-1$(負!)。

原点を通り、傾き $-1$ の直線。

$$y-0=-1\times (x-0)⟹y=-x$$

まず確認すべきこと: 原点は曲線上にあるか。

$$f(0)=0-0=0✓$$

曲線は原点を通っている。 だから $(0,0)$ は接点になれる。

接線の傾きが負 — つまり、原点付近でグラフは右下がりである。$3$ 次関数なのに、原点で減少している。

① 傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=3x^2-1$ なので

$$f^{\prime }(0)=3\times 0-1=-1$$

② 原点を通る直線を作る。 点 $(0,0)$、傾き $-1$。

$$y-0=-1\times (x-0)\Rightarrow y=-x$$

まとめ:接点が原点なら、接線は必ず原点を通る。傾き $f^{\prime }(0)$ さえ出せば、$y=($傾き$)x$ の形ですぐ書ける。

発展 — 一歩先へ。 「接線が曲線を突き抜ける」現象は、変曲点の特徴である。そして変曲点は、現実の意思決定で決定的な意味を持つ。

変曲点とは「増え方が変わる点」だ。

• 変曲点の前: 増加が加速している(勢いを増している)
• 変曲点の後: 増加が減速している(勢いを失っている)

まだ増えてはいるが、"伸びの勢い"がピークを過ぎた点 — それが変曲点である。

感染症の流行で、この言葉が広く知られるようになった。

「新規感染者数が減り始めた」のではなく、「新規感染者数の"増え方"が鈍り始めた」 — これが変曲点だ。

総感染者数のグラフ(S字カーブ)を考えよう。

• 初期: ゆっくり増える(下に凸)
• 爆発期: 急激に増える
• 変曲点: 増加のスピードがピーク($1$ 日の新規感染者数が最大)
• 収束期: 増加が鈍る(上に凸)、やがて頭打ち

変曲点を過ぎることが、「流行のピークを越えた」ことを意味する。 総数はまだ増えているが、勢いは落ちている — 対策が効き始めた証拠だ。

同じ構造が、あらゆる"普及"の場面に現れる。

• 新製品の売上(イノベーター理論のS字カーブ)
• 技術の普及(スマホ、電気自動車)
• 人口増加(ロジスティック曲線)
• 細菌の増殖(栄養が尽きて頭打ち)

変曲点は「勢いのピーク」であり、「転換点」である。

そして、変曲点を知るには $2$ 階微分が要る。

$$f^{\prime \prime }=0\text{かつ、その前後で符号が変わる}$$

$1$ 階微分($f^{\prime }$)は「増えているか」を教える。 $2$ 階微分($f^{\prime \prime }$)は「勢いが増しているか」を教える。

ニュースで「感染者数の増加は鈍化した」と聞くとき、それは $f^{\prime }>0$ かつ $f^{\prime \prime }<0$ の状態を言っている。

$y=x^3-x$ の原点で接線が突き抜ける、という数学的な現象。 その背後には、世界の「勢いの変化」を読む視点がある。

別解

$3$ 次曲線の接線には、$2$ 次曲線にはない特徴がある。 「接する」ことの代数的な意味を調べると、それが見えてくる。

曲線と接線の差を計算する。

$$(\text{曲線})-(\text{接線})=(x^3-x)-(-x)=x^3-x+x=x^3$$

$$\boxed{(\text{曲線})-(\text{接線})=x^3}$$

$x^3$ — $3$ 乗になった!

$2$ 次曲線のときは、$(x-a{)}^2$ という $2$ 乗(重解)だった。 今回は $3$ 乗($3$ 重解)である。

この違いは、何を意味するのか。

$x^3$ の符号を調べる。

• $x>0$ → $x^3>0$ → 曲線が接線の上
• $x=0$ → $x^3=0$ → 接している
• $x<0$ → $x^3<0$ → 曲線が接線の下

符号が変わっている!

つまり、曲線は接線を"突き抜けて"いる。

$2$ 次曲線の接線では、こんなことは起こらなかった。 $(x-a{)}^2\geqq 0$ で、曲線は常に接線の片側にあった。

$$\boxed{\text{2 次: 接線の片側にとどまる}\text{3 次: 接線を突き抜けることがある}}$$

「接しながら、突き抜ける」 — 奇妙に聞こえるが、これが $3$ 重解の姿だ。

接している(傾きが一致している)のに、交差している。

この点を「変曲点」という。 凸の向きが変わる点だ。

$$f^{\prime \prime }(x)=6x⟹f^{\prime \prime }(0)=0$$

確かに $x=0$ は変曲点 ✓($f^{\prime \prime }$ が符号を変える点)

変曲点での接線は、曲線を突き抜ける — これが $3$ 次関数の特徴的な現象である。

グラフで確認しよう。

$y=x^3-x=x(x-1)(x+1)$ は、$x=-1,0,1$ で $x$ 軸と交わる。

原点付近では、右下がり(傾き $-1$)。左では上に凸、右では下に凸 — 原点で凸の向きが変わる。

接線 $y=-x$ は、原点でグラフに接し、そこを境に曲線の反対側へ抜けていく。

「接する」ことの意味を、もう $1$ 度整理しよう。

「重複度」が、接触の"深さ"を表している。

重複度が高いほど、曲線と直線は"より深く"接している — $1$ 次近似だけでなく、$2$ 次の項まで一致しているのだ。

この考え方は、数IIIのテイラー展開へつながる。 「どこまで高い次数まで一致させるか」で、近似の精度が決まる — 接線は、その最も簡単な($1$ 次の)場合なのである。