3次関数が3実解をもつ条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3次関数のグラフが $x$ 軸を3回横切る条件を聞かれている。

グラフの形で言えば、山(極大)が $x$ 軸より上に、谷(極小)が下にあればよい。式で言えば、極大値と極小値が異符号、つまり積が負。

極値の場所は $f^{\prime }=0$ から $x=\pm a$ とすぐ出る。あとは2つの極値を計算して、積の符号の条件を書くだけだ。

① 極値をとる $x$。 $f(x)=x^3-3a^{2}x+b$、$f^{\prime }(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)$。$a>0$ より、$x=-a$ で極大、$x=a$ で極小。

② 極値の計算。

$$f(-a)=-a^3+3a^3+b=2a^3+b(\text{極大値})$$ $$f(a)=a^3-3a^3+b=-2a^3+b(\text{極小値})$$

③ 異符号の条件。

$$f(-a)\cdot f(a)<0⟺(2a^3+b)(b-2a^3)<0⟺b^2<4a^6$$

$a>0$ より $2a^3>0$ だから、これは

$$-2a^3<b<2a^3$$

まとめ:3実解 ⟺ 極大値$>$0 かつ 極小値$<$0 ⟺ 積が負。極値 $f(\mp a)=\pm 2a^3+b$ を出して $|b|<2a^3$。定数 $b$ はグラフを上下に平行移動する量なので、山と谷が $x$ 軸をまたぐ幅がそのまま答えになる。

発展 — 一歩先へ。 実は3次方程式にも判別式がある。$x^3+px+q=0$ では $\Delta =-4p^3-27q^2$ で、$\Delta >0$ が相異なる3実解の条件。本問は $p=-3a^2,q=b$ だから $\Delta =27(4a^6-b^2)$ となり、$\Delta >0⟺|b|<2a^3$。極値の積の条件は、3次の判別式を手作りしていたことになる。

別解

定数分離で「動かない曲線」にする。 $b$ が式に混ざったままだと、グラフが $b$ ごとに動いて考えにくい。$b$ を右辺に隔離して

$$x^3-3a^{2}x=-b$$

とすれば、左辺の曲線 $y=x^3-3a^{2}x$ は固定され、動くのは水平線 $y=-b$ だけになる。

固定した曲線は $x=-a$ で山(高さ $2a^3$)、$x=a$ で谷(深さ $-2a^3$)。水平線が山と谷のあいだにあるときだけ、3回横切る:

$$-2a^3<-b<2a^3⟺-2a^3<b<2a^3$$

パラメータ入りの方程式は、「パラメータを片側に隔離して、固定した曲線と動く水平線の交点」に読み替える。動くものを1つに減らすこの発想は、解の個数問題の万能の入り口だ。