閉区間での最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「閉区間での最大・最小」— 極値だけでは足りない。$\boxed{\text{端点}}$ も候補である。

なぜか。 区間の端では、グラフが途中で"切られている"。切り口が、最大値や最小値になることがある。

候補は $3$ 種類。

• 区間内の極値($f^{\prime }=0$ となる点)
• 左端 $x=0$
• 右端 $x=2$

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$ より、$f^{\prime }=0$ となるのは $x=\pm 1$。

このうち $0\leqq x\leqq 2$ に入るのは、$x=1$ だけ($x=-1$ は区間外!)。

$3$ つの候補の値を、すべて計算する。

$$f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2$$

最大値は $2$($x=2$、右端)、最小値は $-2$($x=1$、極小)。

最大値が"端点"で実現した — 極値だけ見ていたら、見逃していた。

① $f^{\prime }=0$ の候補を出す。 $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)=0$ は $x=\pm 1$。区間 $[0,2]$ に入るのは $x=1$ だけ。

② 候補と両端の値をくらべる。

$$f(0)=0,f(1)=1-3=-2,f(2)=8-6=2$$

③ 最大・最小を選ぶ。

$$\text{最大値 }2(x=2),\text{最小値 }-2(x=1)$$

まとめ:閉区間では、極値だけでなく両端も候補。区間に入る $f^{\prime }=0$ の点と端点の値を全部くらべて、一番大きい・小さいを選ぶ。範囲外の $x=-1$ は使わない。

発展 — 一歩先へ。 「閉区間なら、最大値と最小値が必ず存在する」— これは当たり前ではない。定理である。

最大値・最小値の定理(ワイエルシュトラスの定理)

$$\text{閉区間 }[a,b]\text{ で連続な関数は、必ず最大値と最小値をとる}$$

$2$ つの条件が必要だ。

条件1: 区間が"閉じている"($[a,b]$ の形で、端点を含む)。

開区間だと、崩れる。 $f(x)=x$ を、開区間 $0<x<1$ で考えると

• 最大値はあるか? $x$ を $1$ に近づければ値は $1$ に近づくが、$x=1$ は区間に含まれない — 最大値は存在しない!($0.99$ も $0.999$ も、もっと大きい値がある。)

「端が含まれない」だけで、最大値が消える。

条件2: 関数が"連続"である。

不連続だと、崩れる。 $[0,2]$ で

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x<1)\\ 0& (1\leqq x\leqq 2)\end{array}$$

$x$ を $1$ に近づけると値は $1$ に近づくが、$x=1$ では突然 $0$ に落ちる — 最大値は存在しない。

$2$ つの条件が揃って、はじめて「必ず存在する」と言える。

この定理が、なぜ重要なのか。

「最大値を求めよ」という問題は、「最大値が存在する」ことを前提にしている。 その前提を保証しているのが、この定理だ。

存在が保証されているからこそ、「候補を全部調べれば、その中に必ず答えがある」と言える。

もし存在が保証されていなければ、「候補を全部調べたが、どれも最大値ではない」ということが起こりうる — 実際、開区間ではそうなる。

数学では、「求める」前に「存在する」ことを確かめる。

方程式に解があるか(中間値の定理)、極限が存在するか、最大値が存在するか — 存在定理は、探索の正当性を支える土台なのである。

「閉区間」という指定は、単なる問題設定ではない。それは「答えが必ずある」という保証書なのだ。

別解

増減表を書いて、グラフを"見る"。 そうすれば、なぜ端点が最大になるのかが目で分かる。そして「極値と最大値は別物」という、決定的な区別を身につけよう。

区間 $0\leqq x\leqq 2$ での増減表。

グラフの動きを追う。

• $x=0$ からスタート($y=0$)
• 下り坂($f^{\prime }<0$)を降りていく
• $x=1$ で谷底($y=-2$)— 極小値
• 上り坂($f^{\prime }>0$)を上っていく
• $x=2$ で終了($y=2$)— ここで最も高い!

「谷を降りて、また上って、右端で出発点より高くなった」 — これがグラフの姿だ。

最大値 $2$ は、右端 $x=2$ で実現している。

ここが決定的に重要な点だ。

$$\boxed{\text{極値}\ne \text{最大値・最小値}}$$

「極大」とは、"その近所で"いちばん高いこと(局所的)。 「最大」とは、"区間全体で"いちばん高いこと(大域的)。

この関数には、区間 $[0,2]$ 内に極大値が存在しない($x=-1$ の極大は区間外)。それでも最大値はある — 端点で。

逆のことも起こりうる。 極大値があっても、それが最大値とは限らない。

例: 同じ関数を、区間 $[-2,3]$ で考えると

$$f(-2)=-8+6=-2,f(-1)=2(\text{極大}),f(1)=-2(\text{極小}),f(3)=27-9=18$$

最大値は $18$($x=3$、右端)— 極大値 $2$ より、はるかに大きい!

「極大値は、全体の最大値ではない」 — この区別を、絶対に忘れてはいけない。

山登りに例えると。

「極大」は、近くの丘の頂上。周りを見渡せば、そこが一番高い。 「最大」は、山脈全体の最高峰。

丘の上に立っている人は、「ここが一番高い!」と思うかもしれない。しかし、遠くにもっと高い山があるかもしれない。

この「局所と大域の違い」は、最適化の最大の難問である。

AI の学習(勾配降下法)は、「傾きを下る」ことで最小値を探す。 しかし局所的な谷にはまると、そこから抜け出せない(局所最適解の罠)。本当の最小値は、もっと遠くにあるかもしれないのに。

この罠を避けるために、様々な工夫(乱数を混ぜる、複数の初期値から試す)が開発されている。

閉区間の最大最小問題で「端点も調べる」という手続き。 それは、「局所だけを見て、大域を見誤るな」という戒めなのである。