箱の容積を最大にする(文章題)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題は「何を変数にして、何を最大化するか」を式にするところが本体だ。切り取る辺 $x$ を変数にすると、底面は1辺 $24-2x$、高さは $x$。

容積は $V=x(24-2x{)}^2$。定義域も忘れない。底面が残るには $0<x<12$。

あとは微分して増減を調べる。$V^{\prime }$ は因数分解した形のまま計算すると、解 $x=4$ と $x=12$ が素直に見える。

① 容積を式に。 底面 $1$ 辺 $(24-2x)$、高さ $x$ より $$V=x(24-2x{)}^2(0<x<12).$$ ② 微分。 積の微分で $$V^{\prime }=(24-2x{)}^2+x\cdot 2(24-2x)(-2)=(24-2x)\{(24-2x)-4x\}=(24-2x)(24-6x).$$ $0<x<12$ で $24-2x>0$ だから、$V^{\prime }=0⟺24-6x=0⟺x=4$。

③ 増減と最大。 $x<4$ で $V^{\prime }>0$、$x>4$ で $V^{\prime }<0$ だから $x=4$ で極大かつ最大。 $$V(4)=4\cdot (24-8{)}^2=4\cdot 16^2=4\cdot 256=1024.$$ よって $x=4\mathrm{cm}$ のとき最大容積 $1024{\mathrm{cm}}^3$。

まとめ $V=x(24-2x{)}^2$($0<x<12$)を微分し $V^{\prime }=(24-2x)(24-6x)$、$x=4$ で最大 $1024{\mathrm{cm}}^3$。微分(最大最小)と文章題の融合。定義域を忘れない。

発展 — 一歩先へ。 1辺 $a$ の紙なら、同じ計算で最適は $x=\frac{a}{6}$、最大容積は $\frac{2a^3}{27}$。切り取る正方形は「紙の1辺の6分の1」— 24cm で 4cm はその特別な場合だ。相加相乗の設計(別解)も $4x+(a-2x)+(a-2x)=2a$ 一定でそのまま通る。

別解

別解 — 相加相乗平均で微分なしに最大化(得意な人向けの設計)。 $V=x(24-2x{)}^2$ の3因数を、和が一定になるように重みづけする。

$4x,24-2x,24-2x$ の3つなら、和は $4x+48-4x=48$ で一定だ。相加相乗平均から

$$4x(24-2x{)}^2\le {\left(\frac{48}{3}\right)}^3=4096⟹V\le 1024.$$

等号は $4x=24-2x$、すなわち $x=4$ のとき($0<x<12$ の範囲内)。最大値 $1024{\mathrm{cm}}^3$。

「係数 $4$ を掛けて和を一定にする」のが設計の急所。微分(本解)は万能だが、積の最大化はこの型にはまると計算が消える。