微分係数(定義・文字)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「定義にしたがって」とあるから、公式($x^n$ の微分は $n{x}^{n-1}$)は使わない。定義の式に $f(x)=x^2+x$ を入れて、極限を自分の手で計算する。

具体的な数($x=1$ など)でなく、$x$ を文字のまま進めるのが今回の課題だ。

やることは同じ。分子 $f(x+h)-f(x)$ を展開すると、すべての項に $h$ が残る。$h$ で約分してから $h\to 0$ とすれば、極限が求まる。

① 分子を展開する。

$$f(x+h)=(x+h{)}^2+(x+h)=x^2+2xh+h^2+x+h$$

$$f(x+h)-f(x)=(2xh+h^2+h)$$

② $h$ でくくって約分する。

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(2x+h+1)}{h}=2x+h+1$$

③ $h\to 0$ とする。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h+1)=2x+1$$

まとめ:定義から導関数を出すときも、分子は必ず $h$ でくくれる。約分して $h$ の残った項を消す($h\to 0$)のが型。公式 $(x^2{)}^{\prime }=2x$、$(x{)}^{\prime }=1$ の裏づけになっている。

発展 — 一歩先へ。 同じ計算を $f(x)=x^3$ でやると、分子は $3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$。$h$ で割って残る先頭が $3x^2$ だ。$x^n$ でも展開の先頭 $2$ 項($x^n+n{x}^{n-1}h+\cdots$)だけが効き、公式 $n{x}^{n-1}$ が生まれる。

「公式は定義の計算を1回やっておけば、あとは結果を再利用してよい」— 微分の公式は全部この構図でできている。定義の計算を1度体で通ることが、公式を安心して使う土台になる。

別解

$x^2$ の部分を「正方形の面積」で見ると、$2x$ になる理由が絵でわかる。

$1$ 辺 $x$ の正方形の辺を $h$ だけ伸ばす。面積の増え方は

$$(x+h{)}^2-x^2=2xh+h^2$$

増えた部分は「幅 $h$ の帯 $2$ 本(面積 $2xh$)」と「角の小さな正方形($h^2$)」だ。

$h$ で割ると $2x+h$。$h$ を $0$ に近づけると、角の小さな正方形の寄与は消えて $2x$ だけが残る。

$x$ の部分は「長さ $x$ の線分を $h$ 伸ばすと $h$ 増える」だけだから、割れば常に $1$。合わせて $f^{\prime }(x)=2x+1$ — 定義の計算と同じ答えに、図形の意味がついた。