極値の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は前問と同じ。微分して、$0$ とおいて、増減表。

手順1: 導関数を求め、因数分解する。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$

因数分解しておくと、符号が読みやすい。

$$f^{\prime }(x)=0⟹x=0,2$$

手順2: 増減表。 $3x(x-2)$ の符号を、$3$ つの区間で調べる。

手順3: 極値を計算する。

$$f(0)=0(\text{極大値})$$ $$f(2)=8-12=-4(\text{極小値})$$

$f^{\prime }$ を因数分解すると、符号の判定が一瞬でできる — 展開したままだと、符号を読み違えやすい。

① $f^{\prime }(x)=0$ を解く。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0,2$$

② 符号と極値を調べる。 $f^{\prime }=3x(x-2)$ は $x<0$ で正、$0<x<2$ で負、$x>2$ で正。

• $x=0$:正→負 で極大。$f(0)=0$。
• $x=2$:負→正 で極小。$f(2)=8-12=-4$。

$$\text{極大値 }0(x=0),\text{極小値 }-4(x=2)$$

まとめ:手順は極値の基本と同じ。$f^{\prime }=3x(x-2)$ の符号を数直線で見て、山と谷を決め、$f$ に代入して値を出す。

発展 — 一歩先へ。 極大・極小の判定には、$2$ 階微分を使う方法もある。増減表より速いことがある。

$$\boxed{f^{\prime }(a)=0\text{のとき},f^{\prime \prime }(a)<0\to \text{極大},f^{\prime \prime }(a)>0\to \text{極小}}$$

なぜか。

• $f^{\prime \prime }<0$ → 傾きが減っていく → グラフは上に凸(山型)→ その頂上だから極大
• $f^{\prime \prime }>0$ → 傾きが増えていく → グラフは下に凸(谷型)→ その底だから極小

この問題で確かめる。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x⟹f^{\prime \prime }(x)=6x-6$$

$x=0$ で: $f^{\prime \prime }(0)=-6<0$ → 極大 ✓

$x=2$ で: $f^{\prime \prime }(2)=12-6=6>0$ → 極小 ✓

増減表を書かずに、代入 $2$ 回で判定できた。

しかし、この方法には落とし穴がある。

$f^{\prime \prime }(a)=0$ のときは、判定できない。

例: $f(x)=x^4$。 $f^{\prime }(x)=4x^3$、$f^{\prime \prime }(x)=12x^2$。

$x=0$ で $f^{\prime }(0)=0$、そして $f^{\prime \prime }(0)=0$ — $2$ 階微分の判定法が使えない。

しかし、実際には $x=0$ で極小($y=x^4$ は $\mathrm{U}$ 字型で、原点が最下点)。

もう $1$ つの例: $f(x)=x^3$。 $f^{\prime }(0)=0$、$f^{\prime \prime }(0)=0$ — こちらは極値でない(変曲点)。

$f^{\prime \prime }=0$ のときは、極値かもしれないし、そうでないかもしれない。 増減表に戻って、$f^{\prime }$ の符号変化を調べるしかない。

$2$ つの方法の使い分け。

答案では増減表を書くのが安全(グラフの概形も同時に示せる)。検算には $2$ 階微分が速い。

道具は複数持ち、状況で使い分ける — それが「解ける」ということである。

別解

微分する前に、グラフの概形を"予想"する。 元の関数を因数分解すれば、$x$ 軸との交点が分かり、形が見えてくる。答えを予測してから計算するのが、上級者の作法だ。

まず、元の関数を因数分解する。

$$f(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)$$

$x$ 軸との交点($f(x)=0$ となる $x$)を読む。

$$x=0(\text{重解!}),x=3$$

$x=0$ が重解である — これは重要な情報だ。

重解 $=$ グラフが $x$ 軸に"接する"。

ここまでで、グラフの形がほぼ見えてくる。

• $x=0$ で $x$ 軸に接する(突き抜けない)
• $x=3$ で $x$ 軸を横切る
• $3$ 次の係数が正なので、右端は上がり、左端は下がる

この $3$ つから、グラフを描いてみよう。

左から上ってきて、$x=0$ で $x$ 軸に接し(ここが山の頂上!)、いったん下がって谷を作り、$x=3$ で $x$ 軸を突き抜けて、上昇していく。

$$⟹x=0\text{で極大値}0,0<x<3\text{のどこかで極小}$$

微分する前に、答えの形が予想できた。

なぜ「$x$ 軸に接する $=$ 極値」なのか。 グラフが $x$ 軸に接するとき、そこで接線が水平になる($x$ 軸そのものが接線だから)。接線が水平 $=$ $f^{\prime }=0$ $=$ 極値の候補 ✓

さて、微分で確かめる。

$$f^{\prime }(x)=3x(x-2)⟹x=0,2$$

予想通り、$x=0$ が極値(極大値 $0$)✓

極小は $x=2$(予想した「$0$ と $3$ のあいだ」に、確かに入っている)✓

$$f(2)=8-12=-4$$

予想と計算が一致した。

この「予想 → 計算 → 照合」というプロセスが、ミスを防ぐ。

もし計算結果が「極大値 $-4$、極小値 $0$」などと出たら、予想と食い違う — その時点で、計算ミスに気づける。

因数分解から読み取れる情報を、整理しておこう。

$y=x^3$ の原点が「$f^{\prime }=0$ なのに極値でない」のは、$(x-0{)}^3$ という $3$ 乗の形だから — この表が、その理由を説明している。

式の"形"を読むだけで、グラフが見える。 微分は、その予想を確認し、正確な値を与えてくれる道具である。