傾きが等しい接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「傾きが $12$ の接線」— 接点が分からないので、接点の $x$ 座標を $t$ とおく。

接点 $(t,t^3)$ での傾きは $f^{\prime }(t)=3t^2$。これが $12$ になればよいから

$$3t^2=12$$

$t=\pm 2$ の $2$ つ。接点が $2$ か所あるから、接線も $2$ 本できる。それぞれの接点で接線の式を組み立てる。「傾きの条件を、接点 $t$ の方程式に翻訳する」流れだ。

① 接点 $t$ を求める。 $f^{\prime }(x)=3x^2$。傾きが $12$ なので

$$3t^2=12\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=\pm 2$$

② 各接点で接線を作る。 接点は $(2,8)$ と $(-2,-8)$。傾きはどちらも $12$。

$$t=2:y=12(x-2)+8=12x-16$$

$$t=-2:y=12(x+2)-8=12x+16$$

まとめ:傾きが決まっている接線は、接点が複数あることが多い。$f^{\prime }(t)=$(傾き)で $t$ を全部出し、それぞれで接線を作る。傾きが同じでも通る点がちがうので、別々の直線になる。

発展 — 一歩先へ。 接線 $y=12x-16$ と曲線の交点を調べると $x^3-12x+16=(x-2{)}^2(x+4)=0$。接点 $x=2$ の重解に加え、$x=-4$ で曲線ともう一度交わる。$3$ 次曲線の接線は、原則として曲線を再び横切る — 放物線の接線(接点以外で交わらない)とのはっきりした違いだ。

また、平行な接線が $2$ 本あるのは $3t^2=12$ が $2$ 解をもつからで、傾きを $k$ に一般化すると「$k>0$ なら $2$ 本、$k=0$ なら $1$ 本、$k<0$ なら $0$ 本」。$y=x^3$ の接線の傾き $3t^2\geqq 0$ という制約が、本数の地図を決めている。

別解

$2$ 本目は、対称性から計算なしで出せる。

$y=x^3$ は原点について点対称なグラフだ($x$ を $-x$ にすると $y$ も $-y$ になる)。だから図形のあらゆる部品 — 接線も — 原点対称のペアで現れる。

$1$ 本目 $y=12x-16$(接点 $(2,8)$)を原点対称に移すには、$x\to -x,y\to -y$ と置き換えて

$$-y=-12x-16⟺y=12x+16$$

接点も $(2,8)\to (-2,-8)$ に移る。傾きは対称移動で変わらない($12$ のまま)から、これも確かに「傾き $12$ の接線」だ。

$t=\pm 2$ と符号ちがいのペアで出てきた瞬間に「対称性の仕業だな」と気づけると、計算の半分は検算に置き換えられる。