4次曲線に2点で接する直線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「接する」を式で言うと、曲線と直線の差がその点で2重根をもつこと。2点で接するなら、差の4次式は2つの異なる2重根をもつ。

つまり差は $(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$、まとめて $(x^2+px+q{)}^2$ という完全な2乗の形に因数分解できるはずだ。

未知の直線 $y=mx+n$ との差をこの形とおき、恒等式として係数を比較すれば、$p,q$ と一緒に $m,n$ も決まる。接点を個別に追いかけるより、この「完全平方」という構造に乗るほうが速い。

① 完全平方とおく。 差を $(x^2+px+q{)}^2$ と等しいとする:

$$x^4-4x^3-mx-n=(x^2+px+q{)}^2$$

右辺 $=x^4+2p{x}^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2$。

② 係数比較。 左辺には $x^2$ の項がないことに注意して、

• $x^3$:$2p=-4\Rightarrow p=-2$
• $x^2$:$p^2+2q=0\Rightarrow 4+2q=0\Rightarrow q=-2$

③ 傾きと切片。 残りの係数から

$$-m=2pq=2(-2)(-2)=8,-n=q^2=4$$

よって $m=-8,n=-4$。求める直線は

$$y=-8x-4$$

接点は $x^2+px+q=x^2-2x-2=0$ の解、$x=1\pm \sqrt{3}$。

まとめ:2点接する=差が2つの2重根=完全平方の積 $(x^2-2x-2{)}^2$。係数比較で $m,n$ が一気に決まる。接点を個別に追わず「構造(完全平方)」に持ち込むのが急所。

発展 — 一歩先へ。 複接線 $y=-8x-4$ は、全実数で $x^4-4x^3\ge -8x-4$ を満たす最良の1次の下界だ(2点で触れているから、これ以上は持ち上げられない)。複接線をもつのはW字型(谷が2つ)の4次だけで、U字型はもたない。また差が $(x^2+px+q{)}^2$ と書けても、接点の実在は $x^2+px+q=0$ の判別式が正であることが保証する(本問は $4+8=12>0$)。

別解

平行移動で対称にする(完全平方が目に見える)。 4次の複接線は、3次の項を消すと突然見やすくなる。$x=X+1$(グラフを $x$ 方向に $-1$ ずらす)と置換すると

$$x^4-4x^3=(X+1{)}^4-4(X+1{)}^3=X^4-6X^2-8X-3$$

$X^4-6X^2$ の部分を無理やり完全平方にまとめると

$$X^4-6X^2-8X-3=(X^2-3{)}^2-8X-12$$

$(X^2-3{)}^2\ge 0$ だから、曲線は直線 $y=-8X-12$ の上側にあり、触れるのは $X^2-3=0$、すなわち $X=\pm \sqrt{3}$ の2点だけ。これが複接線そのものだ。

$X=x-1$ を戻すと $y=-8(x-1)-12=-8x-4$、接点は $x=1\pm \sqrt{3}$。本解と一致する。

平行移動の中心 $x=1$ は、じつは2つの変曲点($x=0,2$)の中点。そこへ原点を移すと接点が $\pm \sqrt{3}$ と左右対称になり、複接線が「完全平方を除いた残りの1次式」として直接読める。