3次曲線と直線の3交点(解と係数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点の $x$ 座標は、連立して得られる3次方程式 $x^3-mx-n=0$ の3つの解だ。

解を求める必要はない。ほしいのは「和」だから、解と係数の関係を見る。この方程式には $x^2$ の項がない — つまり3解の和は $0$。これで重心の $x$ 座標が $0$ と即決する。

$y$ 座標の和は工夫のしどころ。3点は直線上にあるから、$y=mx+n$ に通せば $\sum y=m\sum x+3n=3n$ と一瞬で出る。

① $x$ 座標の和。 交点は $x^3=mx+n\Rightarrow x^3-mx-n=0$ の解。$x^2$ の係数が $0$ だから、解と係数の関係より $$x_1+x_2+x_3=0.$$ よって重心の $x$ 座標 $=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=0$。

② $y$ 座標の和。 各交点は直線上にあるので $y_i=m{x}_i+n$。和は $$y_1+y_2+y_3=m(x_1+x_2+x_3)+3n=m\cdot 0+3n=3n,$$ 重心の $y$ 座標 $=\frac{3n}{3}=n$。

③ 重心。 $$(0,n).$$

まとめ $x^3-mx-n=0$ に $x^2$ の項がないので和 $=0$、$y$ の和 $=3n$。重心は $(0,n)$。$3$ 次曲線と直線の交点と解と係数の融合。

発展 — 一歩先へ。 一般の3次曲線 $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ でも、直線との3交点の $x$ 座標の和は常に $-a$(直線の $m,n$ に依らない)。つまり交点の重心は、どんな直線で切っても「変曲点を通る鉛直線」の上に乗る。3次のグラフの点対称性が、解と係数の関係の中に埋め込まれている。

別解

別解 — 「重心は変曲点の真上」と読む(得意な人向けの高い視点)。 和が $0$ になった理由を、係数でなく図形で見る。

$3$ 交点の $x$ 座標の平均は、方程式 $x^3+a{x}^2+\cdots =0$ でいえば $-\frac{a}{3}$。一方、3次関数 $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ の変曲点(グラフの点対称の中心)の $x$ 座標も $-\frac{a}{3}$ である。

つまり一般に、直線との3交点の $x$ 座標の平均は、直線によらず変曲点の $x$ 座標に一致する。$y=x^3$ の変曲点は原点だから、平均は常に $0$ — これが本解の「$x^2$ の項がない」の図形的な正体だ。

重心はさらに直線上にもあるから、「変曲点を通る鉛直線」と「直線 $y=mx+n$」の交点、すなわち $(0,n)$ と即答できる。