3次関数の極大値と極小値の差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず極値をとる $x$ を求める。$f^{\prime }(x)=3x^2+p=0$ から $x=\pm \sqrt{-\frac{p}{3}}$($p<0$ だから2つある)。

$m=\sqrt{-\frac{p}{3}}$ と名前をつける。増減表から極大は $x=-m$、極小は $x=m$。

差 $f(-m)-f(m)$ を計算すると、定数 $q$ は引き算で消え、奇数次の項だけが2倍になって残る。対称性のおかげで計算は短い。

① 極値をとる $x$。 $f^{\prime }(x)=3x^2+p=0\Rightarrow x^2=-\frac{p}{3}$、$x=\pm m$($m=\sqrt{-p/3}>0$)。$f^{\prime }$ の符号から $x=-m$ で極大、$x=m$ で極小。

② 差を計算。 $$f(-m)-f(m)=\{(-m{)}^3+p(-m)+q\}-\{m^3+pm+q\}=-2m^3-2pm=-2m(m^2+p).$$ $m^2=-\frac{p}{3}$ なので $m^2+p=-\frac{p}{3}+p=\frac{2p}{3}$。よって $$f(-m)-f(m)=-2m\cdot \frac{2p}{3}=-\frac{4pm}{3}.$$ ③ $p$ で表す。 $m=\sqrt{-p/3}=\frac{\sqrt{-p}}{\sqrt{3}}$ を入れて、$-p>0$ に注意すると $$\text{極大値}-\text{極小値}=-\frac{4p}{3}\cdot \frac{\sqrt{-p}}{\sqrt{3}}=\frac{4(-p)\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}(-p{)}^{3/2}.$$ (例:$p=-3$ なら $\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot 3\sqrt{3}=4$。)

まとめ 極値の $x=\pm m$($m^2=-p/3$)を代入し、差 $=-\frac{4pm}{3}=\frac{4}{3\sqrt{3}}(-p{)}^{3/2}$。微分(極値)と式変形の融合。$x^2$ の項がなく対称なのが効く。

発展 — 一歩先へ。 極値をとる2点の間隔は $\beta -\alpha =2m$。差 $4m^3$ をこれで書き直すと $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ — 「極値の差は、極値点の間隔の3乗の半分」というきれいな一般式になる($x^3$ の係数が $a$ なら $\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{2}$)。積分の見方(別解)を使うと、この公式は1/6公式の親戚だと分かる。

別解

別解 — 差を「$-f^{\prime }$ の面積」として積分で出す(得意な人向けの高い視点)。 極大から極小へ下る区間 $[-m,m]$ では $f^{\prime }\le 0$。微分積分の基本定理から

$$f(-m)-f(m)=-{\int }_{-m}^m{f}^{\prime }(x)dx={\int }_{-m}^m\{-(3x^2+p)\}dx={\int }_{-m}^{m}3(m^2-x^2)dx$$

($p=-3m^2$ を使った)。最後の積分は放物線と $x$ 軸で囲む面積、1/6公式そのものだ。

$$3\cdot \frac{1}{6}\{m-(-m){\}}^3=3\cdot \frac{8m^3}{6}=4m^3=4{\left(-\frac{p}{3}\right)}^{3/2}.$$

「極値の差 $=$ 導関数のグラフの面積」という見方は、値の代入計算(本解)より間違えにくく、極値の差の公式たちの共通の出どころでもある。