極大値と極小値の差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極大値と極小値の差を、文字 $a$ のままで求めたい。

まず極値の「場所」を押さえる。$f^{\prime }(x)=0$ を解くと $x=\pm \sqrt{a}$ となり、極値をとる $x$ が $a$ で表せる。

あとはこの $2$ か所を $f$ に代入し、極大値から極小値を引く。$\sqrt{a}$ を含む計算になるが、$(\sqrt{a}{)}^3=a\sqrt{a}$ の変形に慣れれば怖くない。

差が $4a\sqrt{a}$ という簡単な式にまとまるのが見どころだ。

① $f^{\prime }=0$ を解く。 $f^{\prime }(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)$。$a>0$ より

$$x=\pm \sqrt{a}$$

$f^{\prime }$ の符号は 正→負→正 なので、$x=-\sqrt{a}$ で極大、$x=\sqrt{a}$ で極小。

② 極大値・極小値を計算する。 $x^3=x\cdot x^2$ で $x^2=a$ を使うと速い。

$$f(-\sqrt{a})=(-\sqrt{a}{)}^3-3a(-\sqrt{a})=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a}$$

$$f(\sqrt{a})=(\sqrt{a}{)}^3-3a\sqrt{a}=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}=-2a\sqrt{a}$$

③ 差をとる。 (極大)$-$(極小)。

$$2a\sqrt{a}-(-2a\sqrt{a})=4a\sqrt{a}$$

まとめ:文字係数でも「$f^{\prime }=0$ の解を代入」は変わらない。$(\sqrt{a}{)}^3=a\sqrt{a}$ の変形に慣れておく。差は $4a\sqrt{a}=4a^{\frac{3}{2}}$。

発展 — 一歩先へ。 極大値と極小値の差は、じつは極値をとる $2$ 点の間隔だけで決まる。最高次の係数が $1$ の $3$ 次関数では、極値点を $\alpha ,\beta$ とすると差は $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ に等しい。

この問題では極値点が $x=\pm \sqrt{a}$ だから間隔は $2\sqrt{a}$。差は $\frac{(2\sqrt{a}{)}^3}{2}=4a\sqrt{a}$ と、代入計算なしでも出せる。

差が $a$ の $\frac{3}{2}$ 乗に比例するのは、$f(x)=x^3-3ax$ が基本形 $g(u)=u^3-3u$ を横に $\sqrt{a}$ 倍・縦に $a^{3/2}$ 倍に引き伸ばした形($f(x)=a^{3/2}g\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)$)だから。縦と横で倍率が違う拡大(アフィン変換)であって、形をそのまま保つ相似ではない。極値差 $\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}$ の関係は、極値をもつ最高次係数 $1$ の $3$ 次関数すべてに成り立つ不変式だ。

別解

別解 — 奇関数の対称性で片方だけ計算する(得意な人向けの視点)。 $f(x)=x^3-3ax$ は奇数次の項しかない。つまり奇関数で、$f(-x)=-f(x)$ が成り立つ。

グラフは原点に関して点対称。だから極大値と極小値は、符号だけが逆で絶対値が等しい。

極大は $x=-\sqrt{a}$ でとるので、その値だけ計算すればよい。

$$f(-\sqrt{a})=(-\sqrt{a}{)}^3-3a(-\sqrt{a})=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a}.$$

極小値はこの符号違いで $-2a\sqrt{a}$。差は

$$2a\sqrt{a}-(-2a\sqrt{a})=4a\sqrt{a}.$$

$2$ 点とも代入する本解と違い、対称性に気づけば計算は半分で済む。答えはもちろん同じ $4a\sqrt{a}$ だ。