導関数の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 導関数の計算は、$3$ つの公式で全部片づく。

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

$$(\text{定数}{)}^{\prime }=0$$

$$\{af(x)+bg(x){\}}^{\prime }=a{f}^{\prime }(x)+b{g}^{\prime }(x)(\text{項ごとにバラして計算してよい})$$

$1$ 項ずつ処理する。

$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$$

$$(-2x^2{)}^{\prime }=-2\times 2x=-4x$$

$$(5x{)}^{\prime }=5$$

$$(-1{)}^{\prime }=0$$

足し合わせる。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+5$$

「指数を前に降ろして、指数を $1$ 減らす」 — これが $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ の意味だ。

定数の微分は $0$。 定数は変化しないから、変化率も $0$ — 当たり前の話である。

各項を別々に微分する。

$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2,(-2x^2{)}^{\prime }=-4x,(5x{)}^{\prime }=5,(-1{)}^{\prime }=0$$

まとめて

$$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+5$$

発展 — 一歩先へ。 「微分すると、次数が $1$ 下がる」— この性質から、面白いことが分かる。

$$x^3\stackrel{{}^{\prime }}{\to }3x^2\stackrel{{}^{\prime }}{\to }6x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }6\stackrel{{}^{\prime }}{\to }0\stackrel{{}^{\prime }}{\to }0\cdots$$

$n$ 次の多項式を $n+1$ 回微分すると、必ず $0$ になる。

この事実が、「多項式を特徴づける」ことに使える。 逆に言えば、「何回か微分すると $0$ になる関数」は、多項式に限られる。

では、微分しても $0$ にならない関数は?

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x(\text{何回微分しても、自分自身})$$

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x\to -\sin x\to -\cos x\to \sin x(\text{4 回で 1 周})$$

指数関数は"不動"、三角関数は"$4$ 周期で循環"、多項式は"やがて消える"。

微分という操作の下での振る舞いが、関数の"個性"を決めている。

この視点は、微分方程式で決定的になる。

$$y^{\prime \prime }+y=0$$

「$2$ 回微分すると、符号が反転して元に戻る関数は?」 — $\sin x$ と $\cos x$ だ。

この方程式は、単振動(バネの振動、振り子)を記述する。 だから振動は $\sin$ 波になる — 数学が、物理の形を決めている。

$$y^{\prime }=y$$

「微分しても変わらない関数は?」 — $e^x$。これは指数的成長(細菌、複利、放射性崩壊)を記述する。

微分方程式とは、「関数の微分の振る舞い」から「関数そのもの」を逆算する技術である。

そして自然法則は、ほとんどが微分方程式で書かれている。 ニュートンの運動方程式 $F=ma$ も、$a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ という $2$ 階微分の式だ。

$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ という素朴な計算。 その延長線上に、宇宙を記述する言語がある。

別解

公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ を、定義から証明してみよう。 「なぜ指数が前に降りてくるのか」が分かる。

$n=2$ の場合(すでに見た)。

$$(x^2{)}^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$$

$n=3$ の場合。

$$(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$$

$$\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}=\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2$$

$$h\to 0⟹3x^2$$

$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2✓$$

一般の $n$ でも、同じ構造だ。二項定理で展開すると

$$(x+h{)}^n=x^n+\underset{\text{h の 1 次}}{\underbrace{n{x}^{n-1}h}}+\underset{\text{h の 2 次以上}}{\underbrace{\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots }}$$

$x^n$ が引き算で消え、$h$ で割ると

$$\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}+(\text{h を含む項})$$

$h\to 0$ とすると、$h$ を含む項はすべて消える。

$$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}✓$$

「指数が前に降りてくる」正体は、二項定理の $2$ 番目の項の係数 ${}_n{\mathrm{C}}_1=n$ だった。

$h$ の $1$ 次の項だけが生き残り、$2$ 次以上は消える — これが微分の仕組みである。

「$1$ 次の項だけが本質」 という考え方は、微分のあらゆる場面に現れる。関数を「直線で近似する」のが微分だから、$1$ 次の情報だけを取り出しているのだ。

$$f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)h(h\text{が小さいとき})$$

この近似式($1$ 次近似)が、微分の実用的な意味である。

検算の習慣をつけよう。 導関数を求めたら、数値で確かめる。

$f(x)=x^3-2x^2+5x-1$ の $x=1$ での傾きを、$2$ 通りに計算する。

公式から: $f^{\prime }(1)=3-4+5=4$

数値から($h=0.001$ として):

$$\frac{f(1.001)-f(0.999)}{0.002}\approx 4.000$$

一致した ✓

「公式の答えを、数値で検算する」 — 計算ミスがあれば、必ずここで露見する。

そして、微分の順序を間違えないこと。

$$(-2x^2{)}^{\prime }=-2\cdot (x^2{)}^{\prime }=-2\cdot 2x=-4x$$

係数はそのまま、$x$ の部分だけ微分する。 $(-2{)}^{\prime }\times (x^2{)}^{\prime }=0\times 2x=0$ などとしてはいけない — 積の微分は、そんなに単純ではない(数IIIで学ぶ)。定数倍は、外に出したままでよい。